HERMITE A STIELTJES

Pans, lundi (■).

M<JN CHKii Ami,

Pendant la séance de l'Académie, penne Ltez-moi de vous envoyer un mot en courant pour vous dire que je suis sorti des ionctions elliptiques et revenu à la fonction !'(«).

J'ai entièrement refondu mes leçons; j'ai cru devoir exposer les . propriétés fondamentales, d'abord comme tous les auteurs en partant de la déBnition ordinaire, puis une seconde fois en partant de la définition de Gauss et traitant alors de r{a) comme fonction analytique. Enfin, je consacre une dernière partie à l'étude des diverses intégrales définies qui se présentent dans la théorie, .

logr(«), J{a), pour donner votre belle analyse qui conduit à la limitation de modJ(n) pourrt=Re'^, et enfin / x*~'{i — x^'' dx,

pour en tirer les applications que vous connaissez du théorème de M. MilUg-Leffler.

Dans ma leçon sur les coupures, je parlerai de la coupure de J(a) et de la substitution d'une autre coupure à celle-là, par le fait de la transformation que vous avez obtenue de cette intégrale. C'est là un résultat qui m'intéresse vivement et qui m'a surpris; je crois bon d'appeler l'attention sur cette circonstance si remarquable que vona avez rencontrée.

A bientôt, mon cher ami, une lettre moins décousue et en vous

SriELTJES A HEIIMITE.

Camt Mo«s

Vous considérez, sans doute, comme l'un des résultats les plus importants de la théorie de la fonction F ce théorème dfl à

(') Note des éditeurs. — Ceite lettre n'est pas datée et nous ayons beaucoup hésité à la iiieltre k Va. pJace qu'elJe occupe, en la rapportant au lundi lo juin 1H89.

M. Weîerslrass, que ---— est. une fonction lioloniorphe le plan.

Actuellement, ce ihéorèrae s'oblient presque immédi l'on prend pour point de départ le produit infini de Gauss et d'Euler, Mais, comment faut-il l'obtenir en prenant pour dofinition l'intégrale définie

V(a)= f~cc-^e--dx1

Si, avee M. Prjui, on pose d'abord

on obtient

+ cj, -I- c, <ï -I- Cs «3 + Cj a-t -f- . . . ,

et l'on en ooncliH, que l'(a) est une fonction uniforme qui admet

seidement les pôles simples o, — i, — 2, C'est là cerlainemenl

déjà un résultat notable, mais cela ne suffit pas encore pour obtenir le théorème de M. Weierstrass.

Dans ce but, il faudrait démontrer encore g'we !'(«) ne s'annule pour aucune valeur finie de a. Ce point établi on pourrait conclure immédiatement que i :Y{a) est une fonction entière, mais comment le faire?

il est vrai qu'on peut tirer ce résultat, que r(a) ne s'annule pys, de la relation

et, comme l'a fait remarquer M. Bourgnet, cette formule montre aussi directement que

est une fonction entière. Mais en prenant pour point de départ l'intégrale définie, la démonstration de cette relation (1) est assez difficile.

J'ai été amené ainsi à chercher si l'on ne pourrait pas tirer

!\6t coHHESPONDANCii n'a

directement de la définition

la conclusion que T(a) ne s'annule pas, tant, que a reste fini Je remarque d'abord que si l'on avait

et, évidemment, fi ne peut pas être nul. Ensuite ayant

on aura aussi

k étant un nombre positif quelconque, donc pour a ^a.-\- jî i

y :c'ï-icos(plog37)e-'-ti,

et ces relations doivent rester vraies en remplaçant a par a + n, n étant un entier positif quelconque. Je pose maintenant

ga^)e-*-'(f3: = o,

C'est là une fonction entière qu'on peut développer et l'on devra avoir maintenant car en remplaçant f{x) par\^C;,a;'" tous les termes sont nuls. De

jnêine, il faudrait avoir

n éLant an «ntier positif quelconque. Mais cela peut a'cicrire

Or, la première Intégrale aune valetir absolue inférieure à

et tend, par conséqiieiil, vers zéro lorsque a croit sans limite. Et dans la seconde intégrale

J .^«-1 "-'<^(x) sin(,S log,r)e''- rfr, le produit

a un signe constant ( — ), car ip (a;) change de signe en même temps que sin(p log^). Dune, évidemment, cette seconde intégrale a une valeur négative dont la valeur absolue crott en même temps que n. Vous vojea que l'équation (A.) implique contradiction, donc "^[a) ne s'annule pas et y- — - est une fonction entière.

J'ai dû introduire la constante positive k pour parer à une objection qu'on pourrait faire à ce raisonnement. En effet, ce raisonnement sérail en défaut si l'intégrale

n'avait pas de sens. Mais je remarque que la valeur absolue detp(a') est inférieure à

464 (;oiiiiKSroKDAf«:E d'hehmlte ei de stleltjks

et a fortiori k

Il est clair par là qu'en prenant A > / les intégrales que j'ai considérées ont bien un sens.

J'ajoute qu'évidemment dans les développements

e„ est supérieur à la valeur absolue de c„.

Je me fonderai sur cette remarque pour détruire une autre objection qu'on pourrait faire et qui consiste en ceci. Il est bien vrai que

a un sens, mais est-il bien sur que cette intégrale soit égale à 2 /'%«-' cn^- sin( ^ loga.) e-*^ dx,

et, par conséquent, nulle comme je l'ai supposé? Pour écarter le doute, je pose

= Jm y" «"-I R„ !in( p loga,)»-" rf«. Or, en posant

x)s-^^ dr

la valeur absolue de R„ esL inférieure à S«, donc la valeur absolue de

y"*»»-iR„sin(pi0S»)«-"<'=r

LETTIIK 218.

f ^ï-iS„e-*-'(fe:.

Mais on a c'est- à-dire

Or, on a ce fléveloppement convergent

. L^^ ^ , ^(' + ') JL , donc

lim ( f 3-a-i S„e-*-<rf37J =0,

et à plus forte raison

Il me semble qu'après ces explications, ma démonstration est à l'abri de toute objection.

Je vous parlerai une autre fois du nombre C; certain résultai rencontré dans mes réflexions sur les fractions continues me donne quelque espoir. Mais je dois d'abord rédiger un Mémoire pour nos Annales, conçu depuis bien longtemps, mais que j'ai laissé tomber dans l'oubli. Et, ensuite, il me faudra terminer mes fractions continues. Je regrette beaucoup que faute de loisir je n'aie pu examiner encore, d'après votre idée, l'intégrale

~ étant la réduite d'ordre n de e^. La vie est bien courte pour tout ce qu'on voudrait faire. Veuillez me croire toujours votre bien dévoué.

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