STIELTJES A HEBMITE

Cher Mojvsieuis,

En vous écrivant hier, j'ai oublié de dire que le fait que r(t() r 'annule jamais, peut se tirer non seulement de la relation

mais eueore de l'expression de logT(a) par une intégrale définie. On voit que logr((T) a une valeur finie tant que la partie réelle de a est positive. Mais il ne me semble pourtant pas inutile d'avoir une démonstration directe, mallieureu sèment elle est un peu délicate ; je crains qu'on ne puisse la simplifier beaucoup. J'ai réfléclii autrel'ois sur la fonction holomorphe

et je voulais savoir si elle admet des zéros ou non. Dans le dernier cas, on pourrait la mettre sous la forme ea'-^', <^{a:) étant encore holomorplie. Mais je viens de m'apercevoir que l'équation

admet certainement des racines. Ces racines sont imaginaires, du reste, car tant que x est réel Q{s;) est réel et positif.

Pour le démontrer, je vais supposer que Q(^) ^^ o n'admet pas de racine, vous verrez que cette hypothèse conduit à une absurdité.

L'équation

montre que Q(i) = -, mais aussi que, dans notre hj'potlièse, l'équation

n'admet qu'une seule racine x^\. En effet, si l'on avait encore Q(a)^ - (a différant de i),

on en condiiraU

Q(«-i)=o contre l'Iiypothèsc.

Cela étant, je considère !a fonction

C'est encore là une fonction holomorphc, et, d'après ce qui précède, les équations

n'auraient aucune solution, ^{x) serait donc une constante d'après

le théorème de M. Picard, mais, cela n'étant pas vrai, il est certain

que l'équation Q(a;) = o admet des r

Si le nombre des racines de

était fini {x ^= x^^ .. ., x„), l'équation

aurait seulement les n + i racines

Or, est-il possible, y(jc) étant une fonction entière, que les équations (,'(a:)=^a, Ç{^a;) = b aient toutes les deux seulement un nombre fini de solutions? J'en doute, et alors on pourrait conclure que Q (^).^ o a un nombre infini de racines ( ' ). Mais il y a là évidemment matière à beaucoup de réflexions.

Je n'ai jamais trouvé à la Bibliothèque le volume des Annales

(I) M. Picard {Annales de l'École Normale, 2 le tliéorème suivant :

qui contient le Mémoiri ainsi sans le connaître.

: DE STIELTJKS.

mais je ne peux