HEBMITE A STIELTJES

Vos recherches sur Q{x) m'intéressent exlrêmement et j'ai précédemment suivi avec le plus grand plaisir les diverses étapes devotre démonstration que la fonction T{a) n'a point de racines.

Mais comment se peut-il que vous n'ayez pas à la bibliothèque le. volume des Annales qui contient le théorème de Picard ! Je vais lui demander s'il pourrait vous envoyer un esemplaire de son travail.

Permetiez-moi de vous demander votre avis sur cette présenter l'application du théorème de M. Mittag-Lefiler lions doublement périodiques.

La formule générale pour les fonctionsy(.îî) étant

de fonc-

il convient, pour cette application, d'envisager en particulier, en les réunissant dans un même groupe, les pôles qui se trouvent à l'intérieur d'un parallélogramme formé avec les périodes a et 6 et au sommet arbitraire. Je les nommerai pôles principaux pour abréger, et en désignant l'un quelconque par p, tous les pôles de f{x) seront représentés par p -\- ma -\- nb . Cela posé, soit <o(x) la fonction rationnelle ayant pour uniques discontinuités les pôles principaux, et telle que /(x) — fix) soit finie pour toutes les valeurs x^=p. Il est clair qu'on pourra écrire

a-^nb)-F,„,„(a7)l

Fra,„ étant un polynôme auxiliaire tel que la somme étendue à tous les entiers m, /i représente une série convergente. Je remarquerai que la somme des résidus relatifs aux pôles principaux

LEITHE 220. 469

éUnL imllt;, un a, en développant suivant les jiuissances descendantes de a:,

Je conclus de là que la valeui- asjniptotiqne de la dérivée »'(.y)

représente une l'onction analyliqne et, en pins, cette fonctiou est doublement périodique, aux périodes a et b, d'après sa composition.

On;», par conséquent,

C étant une constante, et il vient en intégrant

Vous voyez que l'intégration a conduit, pour le second membre, à «ne série convergente. Écrivez, en effet,

^{x + ma + nb-) = '^{ay~\ + \^ ma-^ nb)

VOUS voyez que le ternie général s'exprime par la dérivée, donc, etc. En particulier, pour /(a;) ^ /f^sn^ce, on peut prendre «^ 2K,

On reconnaît ensuite très facilement que la série

2fc

ne change pas en cliangeant le signe de a; et ^; il suffit pour cela de remplacer m par — m et in! par — 1 — m! dans le terme général ; donc C = o et l'on a

k'JO COBRESFOnDlNCE D'heRIIITR ET DE STIll.TJES.

C'est de là que je tire les expressions de %{x), 8, (^), H(^) et H| {x) sous forme d'un produit de facteurs primaires.

En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mou affection bien dévouée.

321, — STIELTJES A UERMITE.

Tniiloiise, iH juin 1889, CHELI MONSIEUH,

Que je vous plains de l'ingrate besogne qu'on vous demande \ Mais parlons plutôt d'Analyse, 11 me semble que votre analyse pour la décomposition des fonctions doublement périodiques ne laisse plus rien à désirer. L'expression asymptotique de f{a:) étant —ri il est évident que la série

est convergente, de même que

Après bien des recherches, le tome des Annales /le fÉcole Normale de 1 880 se retrouvera bien. On sait du moins à qui on l'a prêté, il y a quelques années déjà, mais je ne l'ai pas encore.

Je suis surtout bien aise d'apprendre par votre lettre que M. Picard a déjà démontré que le nombre total des racines de t|'(^) = <*? (^{x) ^ 6 ne peut être fini, ce que je ne savais pas. Mais, dans le cas que M. Picard aurait encore un exemplaire de son Mémoire pour me l'envoyer, je lui serais, en effet, infiniment obligé et vous voudrez bien lui exprimer toute ma gratitude. Voici une remarque que vous avez faite peut-être déjà. Dans votre Cours de la. Sorhonne (3^ édil., p. 68), la formule

yGoosle

LEtTRB 221. 471

VOUS sert ;i dfimoiitrer iriTc e" esl incommensurable lorsLjue 2: est enlier. Ne vaut-il pas la peine de remarquer qu'on démontre aussi de cette manière que, tant que j? est commensurahle, e^ ne l'est pas. Ainsi, log.r est incommensurable pour x^= -■ En effet, supposons x^ ^. e-'=~ (01. pourra supposer ^=^>o), on aura

„,,-.n(f)-.vr-n,(f)-7£=^=^>

le prctrûer membre est un entier, le second membre est toujours positif et tend vers o pour « ^ 30, donc contradiction.

Mou adresse à la Haye sera loi Balistraat, maïs je ne peux pas encore déterminer l'époque où je partirai, car la Faculté ne s'est pas encore réunie pour parler de la session du baccalauréat. En tout cas, ce sera pi-obableinent dans les premiers jours d'août seulement.

En réfléchissant sur la constante eulémnne C, il lue semble presque qu'on pourrait arriver à démontrer l'incommensurabilité en parlant de

cl des propriétés des intégrales définies de la l'onrie

Mais c'est une recberobe qui demandera beaucoup d'efibris et que je réserve pour les vacances. Quoi qu'il en soit, si cette route est obstruée.,., je perds aussi la confiance dans mon idée première.

A l'égard de cette question des zéros de Q(a:), j'ai toujours été frappé par un passage de la correspondance de Gauss et de Bessel. Gauss dit que si la fonction entière / da^ admet une racine,

elle en admet nécessairement une infinité et, plus lard, il a calculé effectivement l'une des racines. Il affirme aussi la décomposition en facteurs primaires (la fonction de genre zéro ou un, il associe les facteurs provenant des racines conjuguées). Tout cela a-t-il été bien démontré ? A présent, cela paraît encore bien mystérieux. Je prépare un petit Mémoire pour nos Annales où je rencontre

47^ coKaKSPO^iiANCE d'hermite et de stieltjes.

la Ibrmule

analogue à

Ç(a) est une fonction entière qui peut s'exprimer |)av

tant t[iic la partie réelle de a est inférienre à l'unitë. A.)a:

il s ensuit encore que <-j(a) a une infinité de zéros, mais i' immédiatement qu'il y a une infinité de racines réelles

L jnentionncr alors en [lassant ia propriété de Q(af) ombre infini de zéros aussi.

Crojez-moi toujours votre bien dévoue.