lf(f-ti) -4-(f

ff (y) -^ é^C/? — a) + ^(Z? — 6) + ^(/> — i-i) H- . . ■ , c'est-à-dire

A-t-on jamais vn une formule plus belle! Je n'aurais jamais pensé qu'une expression aussi simple pourrait exister. Et que cette formule est différente de celles qu'a données Eisenstein ! Je ne puis exprimer, Monsieur, que mon admiration pour des recherches qui vous ont mené à une vérité aussi belle. J'espère être assez heureux pour connaître iin jour les principes que vous avez suivis dans cette investigation.

Votre très dévoué.

MoHSI

- STIELTJES A HERMITE.

En réflécliissanl de nouveau sur votre première formule, je me suis aperçu qu'on peut l'obtenir très simplement comme il sniL :

Attribuons à;E,j', z, t, «seulement des valeurs positives impaires, » := 8A- + 5 et considérons le nombre des solutions de l'inégalité

ce nombre sera évidemment égal à

/{5)M-/(L3)-h...-+^/Cn).

Mais le nombre des solutions pour lesqiielles x t= i est, d'après le théorème de Jacobi( Cre//e, t. 3, p. igi), égala : [§■(/■) somme des

Le nombre des solutions pour lesquelles j; i= 3, 5, . . . est respectivement

En sommant, on obtient pour le nombre total

c'est bien là votre formule.

Il est difficile à croire qu'on puisse avoir une démonstration plus simple. Du reste, il va sans dire que je n'aurais jamais fait le rai-

30 COIIRESPONDAKCE D'HEDMITE ET DE STIELTJES.

soiinement plus haut sans votre Communication. Veuillez bien me croire toujours votre très dévoué.