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qu'à ce que les quanlités sous le signe E, assujetties à la coiitlitLon d'êlre positives, deviennent moindres que l'nnhé.

Cette expression de la fonction sommatoire de F(D) ne m'ajant point servi pour l'objet que j'avais en vue, j'ai cherché dans le voisinage. J'ai supposé n impair et considéré les décompositions d'un entier en trois carrés impairs, puis en trois carrés quelconques, puis en cinq. C'est alors que j'ai enli-evu, comme consolation de mon insuccès, quelques remarques qui ne m'ont point paru sans intérêt, et, en ce qui concerne la décomposition en cinq carrés impairs, l'introduction d'une fonction numérique qui s'offre tout naturellement et d'elle-même. Cette fonction est la somme des diviseurs S d'un nombre impair, tels qu'en faisant n =: S8', on ait S ^ S' mod^ et S<;3S'. La fonction correspondante au cas de la décomposition en trois carrés impairs est la somme des diviseurs tels que l'on ait 5 <; 2 S'. Mais ces recherches demandent plus d'efforts que je ne puis en faire en ce moment, et je dois, en me proposant de vous communiquer mes résultats, attendre que j'aie repris courage à l'ouvrage, afin de ne point m'exposer à vous envojer encore des formules inexactes.

Je pense aussi, Monsieur, à vos belles recherches sur le développement en fraction continue de l'intégrale de Tchebicheff et de Heine, et, comme l'Algèbre est chose plus facile que l'Arithmétique, j'ai vu, sans avoir à travailler pour cela, ce que sans doute vous avez remarqué vous-même : qu'on a sous la même forme le numérateur et le dénominateur des réduites de (a; -^ a)°-{x — &)P où a -F- p = un entier k. Supposons k positif; dans une réduite de rang quelconque — t A se détermine en posant

D;K^-<i)"+='(^-6)"+fi] = (^-a)--<(^-ù)PA, et B par la relation semblable

et, en écrivant ceci, il me semble voir que le résultat subsiste, que /,' soit positif ou négatif.

Je dois, dans quelques jours, partir pour la Bretagne, d'où j'espère pouvoir vous écrire en traitant les questions plus à fond qu'aujourd'hui; veuillez en attendant, Monsieur, recevoir l'expression