HEHMITE A STIELTJES

Paris, 6 octobre i883.

MoBSlEïin,

Vos recherches sur l'évaluation approchée des intégrales (') ont été présentées à la dernière séance de l'Académie et paraîtront dans les Comptes rendus de cette séance. Mais, votre rédaction dépassant en étendue la limite réglementaire de trois pages d'impression, j'ai dû la diviser en deux parties, de sorte que la fin de votre Note paraîtra seulement dans les Comptes rendus delà prochaine semaine.

Permettez-moi, Monsieur, de profiter de cette occasion pour rectifier l'erreur (^) que vous avez reconnue et signalée dans l'énoncé de ma formule, concernant le nombre des solutions de l'équation ^* + 7^+ 3--1- r^+ £(* = n. Si l'on désigne ce nombre par/(«), la somme /(i)-l- /(2)-|-, . .+/{/i) = F(n) s'obtient comme il suit:

Désignons par a les entiers impairs i, 3, T), . . ., et par c et c' les entiers quelconques i, a, '^. - - .; on a

+,62;[«B(i/^»;)->.(-i)-oiî(^,.-^^)].

Dans cette expression, E(ic) est l'entier contenu dans x,

de sorte qu'on a toujours E, {x) — o ou = i , suivant que la différence entre ;r et le plus grand entier qui y est contenu est inférieure à -j ou bien égale ou supérieure à -■

Voici, dans cet ordre de recherches, les formules que je viens d'obtenir, pour le nombre des solutions de l'équation cc^ +y^ ^= n- En

C) Les recherches présentées à l'Académie lettre sont celles donl il est question daos I» lettre 13.

('} La formule rectifiée est la seconde formule de la lettre 14.

désignant ce nombre par /(n), Yons savez qu'EisensLein a donnii, le premier, pour la somme /(i) +/('^) "^" •- -+/(")— '^'X'Oî celte expression bien remarquable :

-l'ai remarqué qu'en posant pais

J'obtiens encore pour la somme suivante,

/(«)+/(,. 5) +/(».9) + .. . +/{^-«), OÙ 71 SE I, mod 4i l'expression que voici :

en désignanL par ^ l'enùer impair immédialemenl au-dessous de </nouégal à ^/n.

Je me ferai, Monsieur, un plaisir, quand je publierai ces résultats, de donner la méthode si élégante que vous m'avez communiquée au sujet de la décomposition en cinq carrés impairs des nombres ^ 5 mod 8, en insérant dans mon travail la lettre que vous m'avez adressée sur cette question. Veuillez, en attendant, recevoir la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes sentiments bien dévoués.