STIELTJES A HERMITE

Lcjde, 10 octobre i883,

MOMSIEUB,

Vous m'avez fait un très grand plaisir en m'écrivant votre dernière lettre, et encore une fois vous m'avez fait votre débiteur en

présentant mon travail à rAcadémie. Vous ne dites rien de votre santé rj'espère bien sincèrement qu'elle soit complètement rétablie. Maintenant qne j'ai sous mes jeux votre formule pour

je vois bien que seulement quelques légères erreurs d'écriture dans votre premier énoncé m'avaient empêché de la bien comprendre. Mes efforts pour découvrir ces erreurs moi-même ont été inutiles. Voici comment j'avais tâché de retrouver votre formule :

Le nombre des représentations de n par x- -\-y'^ -\- z--]- t- est

où je désigne par^(/i) la somme des diviseurs impairs de n. C'est ce qu'on peut déduire de la dernière formule des Fundanwnta noi'a (Œuvres de Jacobl, t. I, p. 23^)

A l'aide de ce résultat, on troiive facilement

+(-0''8[^(«)-2^'("-i') + 3^'("-a=)+^/('t~3')-^...l, OÙ il faut continuer les séries jusqu'à ce que les arguments deviennent négatifs. Si n est un carré, il faut prendre g'(o) ^ — 7- Part.ant de celte expression, on trouve, pour F('*)=/(«)-H/(«-r) + ..., F(ft)=,fiP+(-,r8Q-i,

P, prendre le signe supérieur; pour Q, 1

e signe inférieur).

J'avais pensé, par analogie à ce qui se passait dans le cas de la décomposition d'un nombre 8 /: 4- 5 en 5 carrés impairs, que celte

LETTRE 20. 3l

formule résaUerait aussi, par une transforma lion facile, de celle que vous avez donnée. Mais en lâchant de transformer votre formule je n'ai point vu se confirmer cette prévision, de sorte que je n'ai point trouvé une méthode pour arriver à votre formule. Cependant je n'ai pas encore pu faire le calcul avec le soin nécessaire et je me propose d'y revenir.

Comme je trouve toujours un plaisir à accompagner des recherches abstraites par des calculs numériques, j'ai été vivement frappé par la transformation que vous m'avez indiquée de cette expression

K")-(l)-(")-'Kf)--

Votre transformation, en effet, permet de calculer cette t pour des valeurs de n pour lesquelles le calcul direct serait rebutant, quoique je vois bien qu'on ne doit point envisager cette transformation seulement sous ce point de vue. En effet, je me rappelle d'avoir vu dans le second Volume des Œuvres de Gaiiss ( ' ) d'autres formules encore plus faciles pour ce calcul, déduites de celte considération que

est le nombre des points dont les deux coordonnées rectangulaires X, y sont des nombres entiers, situés à l'intérieur d'un cercle décrit de l'origine avec le rayon \Jn.

Quoi qu'il en soit, j'ai voulu appliquer votre transformation à d'autres cas pour en bien comprendre le sens. J'ai considéré à cet effet le nombre /(«) des représentations de n par x'^-\- 'ly^ ; on a

où rf|, d^, d-„ d^ signifient les nombres des diviseurs de «qui sont compris dans les formes 8^-[-i, %k-\-Z, 8A--1-5, 8/-+ 7- C'est ce que j'ai trouvé par la considération du développement de

3a COKIIKSPOMJANCE l> llEBSirTE ET DR STIELTJKS.

on en conclnl

-[K")-(f)-œ-K")-Ki)-(^)--]-

En faisant usage d'une transformation analogue à celle que vous avez donnée, j'obtiens les formules suivantes :

Soit 'f (3;) une fonction numérique définie pour des valeurs entières de a; par

c'est-à-dire ç(^) est égale à la somme des x premiers termes delà série

Posons maio tenant

alors

Il est évident que i +/(i) -f- /{a) +.. .+/{/;) est égal au nombre des points à coordonnées rectangulaires entières situés à

l'intérieur d'une ellipse dont les demi-axes sont égaux à \fïi et l /-■

(') La formule tf (;c) -

de/(i) -1-/(2) +. . ■ + /(«) pour n très grand. On en dédiiîL

Je ne vois pas encore la raison de cette aulre formule que vous m'avez communiquée, mais je veux y penser,

Ces derniersmoisne m'ont poinL été favorables pour les études... je vais quitter l'observatoire vers la fin de ce mois et je suis maiHtenant chargé provisoirement, pendant la maladie d'un des professeurs ( ' ), de leçons de Géométrie analytique et descriptive à l'École

Polytechnique de Delft J'aui-ais cependant à dire quelque chose

siir les intégrales définies, mais je dois finir celte lettre déjà trop longue.

Croyez-raoi toujours votre très reconnaissant.