i)'oE(/'"^-'S?)-2«''(J>)>ï(>'»^^) (P

= '^Wi)^l'i-<l) (î-«— 2, ,.-4,»-6,...).

( ' ) Rû effet Donc

Cette somme est égale à

Idée

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: «pair, ninif

lair, o

n reconnaît de su

itc

l'identité des formules A' et B'.

En vous communiquant ce calcul, j'espère ne vous point importuner. Du reste, les remarques que j'ai faites à l'occasion des foi'mules que voiis avez bien voulu me communiquer ne méritent point de figurer dans un iVîémoire que vous vous proposez de faire paraître.

Le peu de temps que je peux consacrer à l'étude ne me permet point de faire quelque chose qui vaut la peine et parfois je crois que ce serait plus sage d'y renoncer tout à fait.

■ Cependant j'éprouverai toujours un vif sentiment de reconnaissance en me rappelant l'accueil si bienveillant que vous avez bien voidu faire à votre très dévoué.

- HERMITE A STIELTJES.

MONSEEUTI,

En vous informant que la suite et la fin de votre Note sur l'évaluation approchée des intégrales sont dans !e numéro des Comptes rendus que je viens de recevoir, je prends la liberté de vous demander une nouvelle Communication pour l'Académie. C'est à mon tour de ne pas réussir à deviner certaines combinaisons analytiques ; il ne m'a pas été possible de voir comment vous êtes parvenu à l'expression de la somme /(i) -1-/(2) -]-. . .~\-f{n) où f{n) désigne le nombre des représentations de n par la forme

6b- COHBESrONDAHCE D H EDHITE ET DE BTIELTIES.

x^-\-3y^. Mais voire résultat m'intéresse extrêmement et me semble si remarquable que, dans l'intention d'être agréable aux amis de l'Arithmétique, je viens vous prier de publier dans les Comptes rendus la Note extraite de votre dernière lettre, que j'ai transcrite sur une feuille détachée afin que vous puissiez j faire les changements qui vous conviendront. Et, puisque les mêmes questions nous plaisent également, je prends la liberté de vous communiquer sur la fonction que vous appelez g'{x), et qui est désignée par o(«) dans les Fundnmenta, une transformation semblable à celle qui concerne E(-l — EZ-l-t-Ef^l — . .. et permettant de calculer rapidement la somme

J'introduis, dans ce but, en outre des fonctions E(a:) et E| (^) = E(2jc) — 2£(a;), la fonction suivante, à savoir ;

E,(a.) = ;[ES(.^)-HE(a7)].

Elle donne d'abord, en effet, cette expression :

où vous voyez, que, dans la première ligne, le nombre des termes

est— ^ et, dans la seconde, l'entier compris dans ■ '■■ Je le

réduis à l'entier contenu dansy//i en distinguant deux cas, suivant qu'il s'agit de la somme

■p(3) + 9(7)-i-'f(") + -.- + ?(4«-i) ou bien

C'est la première qui donne la formule la plus simple ; j'obtiens.

on effet, pour cette somme, la quantité suivante :

Vous avez, Monsieur, 1res heureusement exprimé par la formule

dont l'idée ne m'était jamais venue, le nombre des représentations de npar une swnme de quatre carrés, et je mettrai à profit votre expression dans mes recherches. La fonction sommatoire m'a conduit à introduire la quantité ainsi définie (') :

et je trouve en faisant pour abréger -^ (n) ^^ | 3 -|-(^ i)"];!» (/z), les équations suivantes :

mais bien des calculs me restent encore à faire pour arriver à transformer la somme i(i) H- i|>(2) +. . .•+^^{n) de la même manière queç{3)+Y(7)+...+ <p(4«-i)-

Je ne puis douter que vous n'arriviez à démontrer mes formules pour la somme /(i) +/(2) H-. . ■+/{n) en suivant la voie gue vous m'avez indiquée. Beaucoup d'autres doivent s'j ajouter, et je m'occupe de les réunir, mais, chemin faisant, je suis revenu à la fonction F(7i) exprimant le nombre des représentations de n par une somme de trois carrés. On a alors

yGoosle

m CORRESPONDANCE D HBRMtTE ET T>E STIELTJES.

en supposant que '.p(c) soil le nombre des représentations de c par Line somme de deux carrés el qu'on prenne c^= i,2,3, . . ., n. C'est sous une forme toute pareille que peut se mettre la fonction sommatoîre du nombre des décompositions en cinq carrés.

Je souhaite vivement, Monsieur, que les devoirs d'enseignement auquel vous êtes appelé vous laissent assez de loisirs pour songer à l'Arithmétique. Permettez-moi de vous demander, lorsque vous me reloi.u'nerez votre Note ci-jointe, si l'École Polytechnique de Delft est à la fois civile et militaire, comme notre Ecole Polytechnique, quelle est la durée des études et quelles soiil les matières de l'enseignement. En vous remerciant de votre intérêt pour ma santé qui, sans être parfaite, ne met cependant pas obstacle à mon travail, je vous prie. Monsieur, de recevoir la nouvelle assurance de ma haute estime et de mes sentiments bien sincèrement dévoués.