STIELTJES A HERMITE

Leyiie, lô noyembre i8S3.

Monsieur,

Depuis que je vous ai adressé ma dernière lettre, j'ai pu consulter les Disqu. Arithm. J'ai vu alors que le théorème auquel j'ai été conduit par des considérations d'une autre nature est encore un simple corollaire de ce que Legendre a trouvé par induction et de ce que Gauss a prouvé dans son Art. 292 (je n'ai à ma disposition que la traduction par Pouillet-Delisle, p. 349-35o). J'aurais donc dû mentionner cette circonstance. Pour le moment, je ne puis que vous prier de retirer ma Note et de ne la point présenter à l'Académie. En effet. Monsieur, je sens bien qu'il faudra attendre jusqu'à ce que j'aurai la tête libre et pourrai approfondir plus à mon aise toutes ces choses, avant que de publier mes études. Voici encore quelques formules (si voiis voulez bien en prendre ;e) qui pourront se déduire, sans doute, toutes de la

même source, c'esl-à-dire de k relation découverte pat' îjCgendre entre F(h) et la représentation de n par trois carrés.

Soit (Çi(/i)^S( — i) ^ , (i parcourant tous Içs di\ de n (n pair on impair) et prenons F(n) toujours i M, Kronecker. Convenons encore que, dans les sommations, il faudra prendre s = i, 3, 5, ... ctr-— o, ±i, ±2, ±3,

Alors on aura

.mpairs le sens de

n = i (modS) F(

si II est lin carré, il faudra continuer jusqu'à (p(o) ;= | ; „^^3(mod8) F(„)= 2'(^"-)'

Encore, n étant le double d'un nombre impair

En distinguant, dans cette dernière formule, les cas «^8^ + a, 8/r + 6 et faisant attention que fi(4^ + 3) = o, on pourra écrire

Comme on a généralement

les formules précédentes donnent toujours une expression de F(n) excepté seulement dans le cas n ■— ^'' {% r -{- j) . Ces nombres 4''{8r+7) étant précisément ceux qu'on ne peut représenter pariT^+j^+s».

A l'égard de ces déterminants 8/^ + 7, j'ai encore trouvé la relation

*(/i) désignant la somme des diviseurs de n, *'(») la somme des diviseurs inférieurs à \/n.

54 CORRESPONDANCE D HERSIITE ET DE STIELTJES.

Ln formule VII de M. Kronecker fait connaître la somme S(,yF(«-i6.-^), « = 8^ + 7.

Cette somme est une fonction arithmétique de n un peu moi: simple que celle plus haut.

Les théorèmes de Legendrc doivent donner facilement les expre sions asymptotiques de

(a) + F(io)-HF(i8)+.

(fi)-HF(a)-HF(22)-H.

M-F(re).

Ces expressions sont égales à y-ô""i tandis que la valeur approchée de

est huit fois pins grande et égale à p'Tï""-

Mais il ne semble pas qu'on puisse ohlenir cette dernière valeur aussi facilement.

Je suis, Monsieur, avec le plus profond respect, votre très dévoué.