STIELTJES A IIERMITE
MOMSI
Leyde, ^4 n
Permettex-moî de compléter les formules que je vous ai déjà communiquées, et d'indiquer, en même temps, comment j'ai pu vérifier partiellement ces formules à l'aide de la théorie des fonctions elliptiques.
Soit, d parcourant les diviseurs impairs de n.
en sorle que 2T(n) est le nombre total des représentations de n
par X-+ 2 y-. On a alors [F{/ï) toujours dans le sens de M. Kronecker]
(A) n^i (modS) zF(n — 8;'=) = \^(n) ^ \W{n)
{B) n = S, 5 (mod8) 2F(n - S/'^) -= ■^^(t!)
(C) 7*^3,5,7 (mod8) SF{n- 3S=) = J-*(7i) ^-{'F(/i) (.:=i,3,5,7, ...)■ D'ailleurs W(n)^ o lorsque « f^ 5, 7 (modS). Partons mainleoant dn développement
en différentiant et posant après x ^ -zt on trouvera, à cause de
Soil, comme à l'ordinaire
es(?) = 3S' + iq^^-i.q^ +. . .
6g(7) = (+aî-!-îç'-h25>»-l-....
on a
et, chatlgeanl q en ç^,
de plus,
56 connESPONOANCE d'hebmite et de stiei.tjes.
en sorte que le premier membre de l'équation (i) devienl
J-en?)B,(î=)e,(î), ou bien, à cause de
(2) [3i(g^)-0l(g')16.(g')fl»(?) = ^^^~|'y^'
J'emprunte maintenant les formules suivantes à M. Kronccker [Monatsberichte der Berliner Akademie, 1875, p. 22g)
(4) %'^V{%n^';)q"^'^ = mq\
La formule (4) est du reste la même que celle que vous avez donnée dans le Journal de Liouville, 2' série, t. VII, i86a, p. 38. Dans ces formules, on a généralement
seulement si n est un carré impair
Comme on a
6|(?)-0=(yî) + fi|(5^),
on voit facilement que la formule (Si se décompose d'eile-même dans les deux suivantes :
A l'aide des formules (3), (4), nous trouverons
yGoosle
En posant maiiileiiant, avec M. Rronecker,
^'(n) = X{—i)~~' 'd [ii diviseur de n). le dévcloppemcnl du. second membre de (5) donnera
La comparaison avec le développement du premier membre donne
n^.i{<aoA%) ^'{ii)= 2SF(n — Sr"),
«^3 (modS) *'(n)=-4SF(» — 8r2) + 4SF(n — '25=),
n^5 (modS) *'(")= 22F(ji — Sï-îi) — 8SF(h — îî^),
« = 7{mod8) *'(7i)= 4SF(n-2«5)
li est facile, maintenant d'introduire la fonction F{n) au lieu de F(«); on trouve
n=i (modS) *'{n) -1- t"(re) = tSi-Xn — 8j-^),
ns3 (mod8) *'(«} + 'J'(n) = — .{S J'C/i — 8^^) -h 4S/'(n — as'), n = 5 (modS) *'(«)= 2SF(rt — S?-') — 8SF(« — asS),
re^7 (modS) *'(?()= 4SF(n — ss^).
Ces relations résultent aussi directement des formules (A), (B), (C) en remarquant qiie
*(ra)= *'(re) lorsque 71 = + 1 (modS), *(n) = — *'(«) lorsque rt==t3 (mod8).
Mais pour retrouver tes formules (A), (B), (G) elles-mêmes, il serait nécessaire de recourir à d'autres formules de la théorie des fonctions elliptiques, formules que je n'ai pas encore cherchées. Toutefois, cela ne sera pas difficile, probablement.
J'ai encore retrouvé quelques relations dans lesquelles les déterminants sont compris dans la suite 3A-* — n; voici les plus simples
n^5(modi2) SF(/.-3.-=) = ^(«) ^^ ^^ ^^ ^^
«^7(modia) SF(«-3r') = iïi(«) ^' ' '"■ ' '""'''
71(71) signifiant la somme des diviseurs de « de la forme la/fito, diminuée de la somme des diviseurs compris dans la forme
! d'hermite et de stieltjes.
\7.k±i. Pcut-èlre on pourra obtenir ces formules i moyen de la théorie des fonctions elliptiques, en faisant usage de la transformation du troisième ordre des fonctions ô; c'est ce que
je me propose d'éludier Dans une de ses nombreuses Notices,
M. Liouville a donné la relation
.f(,».-3,.).:[3 + (^)]2(i)<i, li"
' (mod V.
C'est une formule qui appartient évidemment à la même catégorie, et qu'il faudra retrouver.
Voici une question. Monsieur, qui s'est présentée à moi, à l'occasion de ces éludes. En posant
on sait que
Maintenant, je crois voir qu'il serait utile de connaître de même une expression de
en fonction des 9. Quelqties formules que j'ai obtenues d'une manière arithmétique me font soupçonner qu'il existe une telle expression de Hn'^q"* par les fonctions B. Mais je n'ai pas encore lâché d'éUidier celte question. Peut-être une telle expression estelle déjà donnée sans que j'en aie connaissance. Dans ce cas, si une telle formule vous serait connue, vous m'obligeriez beaucoup de m'en avertir quand cela vous conviendra.
Croyez-moi toujours, avec le plus grand respect, ^Jotre 1res dévoué.
''- ' P. S. — En parcourant, dans ces derniers jours, le beau Rapport - de M, Smith sur les progrès de la théorie des nombres, spécialement dans le Rapport de i865, ce qui a rapport aux formules de M.Kronecker, j'y ai rencontré cette expression 8[2 + ( — i)"]X(h) pour le nombre des représentations de n par x'-^ ■ k- y- -\- ^^ + '^■ De même, la relation
n = 7 (modS) ZViji^^Hr^) = iqi^) ^ Q'in)
yGoosle
que je vous ai comiminiqTiée [(?(i) somme des divisciirs, Ç'{n) somme des diviseurs <; \/h] esl une conséquence directe de deux formules données par M. Smith. Mais probablement cette formule rentre dans celles I-VIII de M. Kronecker.
