STŒLTJES A HERMITE

MONSIEUH,

Permettez-moi encore d'ajouter à ma lettre d'hier quelques remarques sur ces séries Sn^^"'.

En posant

les formules de Jacobî ayant rapport aux fonctions de seconde espèce donnent d'abord

ti) 11^ ( K - E 1 = 8 lTl?±t9,?4=:i^?;!±.l ■-: ,

g"^ -H ?"*-+- -7">^ + .. , Parle changement de q en q", la formule (■<} donne (3) 7 -H9yS-f-a59'îi^^4(j^*M-...

et, ensuite, à l'aide de (i)

Ici, et dans la suite, dans les sommations ii faudra prendi'e

t^o, ±2, =fc4. ^=6, ....

6o connESPOHDAKCE d'iiermite et de stiëltjrs.

Mainlenant, on a encore

Comme vous vojcz, la fonction de seconde espèce E esL éliminée dans ceUo combinaison

PQi— QP,= —^k^V

que l'on peut écrire aiissi

(7) iGSS(sS— i5)5''+''= —fk'^Â'= (i^ll,,

en posant

Mais on «

»0,0,-a(,'-3jî+i,'i"-...)-!iS(-irr,î^ ot

en sorte qu'on obtient

La comparaison du développement des deux membres suivant les puissances de q donne cette relation singulière que l'on doit encore à M. LioTiviUe et dans laquelle N signifie un nombre impair

Dans le second membre , la sommation s'étend à toutes les représentations de N pars^ + i^, ce second membre s'évanoTiissant si N

ne peut pas être représenté par la somme de deux earrés. Prenons par exemple N ^^ a5, on a

En effet, on trouve

[F(99)-3F(9]) + :1F{7r,}~7F(5,) + yF(i9), ==:i,9 — 3.6-+-5.7-7.6-r9.3 = n.

.F(io7)-3F(9y)^5F(83)-7F(59)^9F(27),

En effet, 27 n'est pas la somme de deux carrés.

Comme vous voyez, le théorème arithmétique exprimé par la formule (9) est équivalent à la formule (8); cette dernière formule revenant à (7) comme on le voit à l'aide de votre relation

Veuillez m'cxcaser si j'ai demandé trop de votre attention, mais je craignais ne pas m'être exprimé assez clairement sur ce que je me proposais en parlant des séries Sn^y"'. La formule (7) est une de celles dont j'avais pressenti l'existence. Crojez-moi toujours, avec le plus profond respect votre très dévoué.