HERMITE A STIELTJES

Paris, -i-j novembre i883.

Mon s lE on,

Je m'empresse, en revenant à Paris, de vous accuser réception de vos communications du 24 et du 30 novembre, dont j'ai fait l'étude avec le plus grand soin et avec le plus grand plaisir. Les théorèmes contenus dans les relations (A), (B), (C) sont extrêmement intéressants et l'analyse par laquelle vous établissez en partie ces relations au moyen des développements de la théorie des fonctions elliptiques me prouve que les méthodes dont j'ai fait

62 CORRESPONDANCE D HERHITB ET DE STIELTJES.

usage dans mes recherches sur ces questions vous sont bien familières. Vous allez même bien au delà, car il ne m'est jamais arrivé de rencontrer des déterminants de la forme ik^ — n, ni la fonction numérique 'r\{n) auxquels vous avez été amené. Mais les déterminants compris dans la formule n — 8r^ que vous considérez si souvent s'offrent continuellement aussi, sous mon point de vue. Je viens, par exemple, de remarquer qu'en désignant par F(n) le nombre des solutions de l'équation x^-\-y'-' + z-^n, lorsqu'on suppose X impair, y divisible par deux, et z par quatre, si l'on

continue de représenter par tp(n) la somme S( — i) ^ , où d parcourt toiis les diviseurs de n, qui actuellement est impair et := i ^mod4), on a la formule suivante

-'') ir

Votre méthode potir p;

est fort belle, et c'est également un excellent résultat qui rattaché à la théorie des fonctions elliptiques le théorème s quable découvert par M, Liouville. Mais je ne puis satisfaire à votie demande relativement aux quantités ^n'' remarqué seulement que l'on a

Veuillez, Monsieur, m'excuser de ne vous rien dire sur la fonction yj^n), mon travail arithmétique ajant été interrompu par les circonstances qui m'ont appelé dans ma famille de Lorraine, mais vous ne perdrez rien, j'espère, pour attendre un peu. En vous priant de vouloir bien me faire savoir s'il vous convient que la partie essentielle de vos deux lettres soit publiée dans les Comptes rendus, comme les précédentes, je vous renouvelle.

en rien 5'"=;j'ai

yGoosle

Monsieur, avec l'expression de ma plus haute estime pour votre beau talent, l'assurance de mes sentiments bien dévoués.