STIELTJES A HEBMITE
Lcyde, 27 novembre iSSS.
MONSIEUE,
Comme les remarques suivantes concernent encore l'application de la tbéorie des fonctions elliptiques à la théorie des nombres, j'espère que vous voudrez bien les considérer avec indulgence.
En premier lieu, je troiive, par un calcul qui n'offre point de difficulté,
OU bien
Mais on a ;
«(?')•.(«■) 0.(3") aî^'"''"'»^ (< = i,3,5,7, S, ...), /,2]P(.f" + ')î'*" = <l^(î)(«.)«i doDC (a) t'^l-rl^,i''^r Un ^-, ),""''
On en tire ce théorème, dans lequel N désigne un nombre entier (positif) quelconque :
la sommation, dans le second membre, ayant rapport à toutes les solutions do
64 COBBESPONDANGE DUERMirE ET DE STIELTJES,
le second membre étant égal à zéro s'il n'existe point de représentation de N par x^ + "iy^- Par exemple,
N = 26, pas de représentation par 3;'+ •iy'^,
(-i)^Hs(^. .,j,î) ^ ,(f g ,S + ,.5 .,1 ^.. 56,
2[F(io6)-3F(90) + 5F(58)-7F[io)]
J'avais d'abord obtenu la relation (3) par des considérations arithmétiques; c'est en réfléchissant sur celte formule que j'ai eu l'idée d'introduire ces séries ^n^g"'. Voici encore une autre formule du même genre :
N = 3 (modS), 22(-.n"'"^îF(^)=(-iy^2f^'-^^')
(s = f,3,.'i,7, ...), la sommation, dans le second membre, ayant l'apport à tontes tes solutions de N ^ .«--i- zy^, x et y élaxil positifs et impairs. Par exemple,
N =99, 99 = i'H-2.7- = 7=+2.5î=95-!-2.3^ donc
(-,— S(a75-2,r^) = -(,-g8-H49-5o + 3.-iS)= + 35, 2F(49) + 6F(45)-ioF(37)-i4F[25) + i8F(9)
Le second membre devient o quand il n'y a point de solution de N = a:;^ + aj^. Par exemple, N = 35, pas de solution
F(i7) + 3F(i3) — 5F(5) = 4+ 3.2 — 5.2 = 0. Ce théorème est une conséquence du développement en série que
yGoosle
où il faut auribucr à « et/ seulement les valeurs |,3, 5,^,.... En effet, on a
et
«(/î)«.(l/?)».(îJ = «'(?)».lî)-
Maintenant, j'observe que la formule de M. Ki-onecker,
donne, à cause de
<2l'(>l''+')!ï""*'-».(?)«l('/')> i2;F(8,. + 5),'"'-0,{î)»;(î'll
donc
A l'aide de ces focmulcs, nous aurons
La comparaison des développements des deux nombres donne notre formule
(4) IV = 3 (mod8),
(s ^ 1,3, 5,7, N = 3;^+ ijS iP,/ = I, 3, 3,7, . ..)■
Comme vous le voyez, ces deux formules se mettent à côté de celle donnée par M. Liouvîlle (Journal de Mathém., 2^ série, t. XIV,
66 CORRESPONDANCE D HERHITE ET DE STIELTJES,
année 1869; p. [ ),
(s = 1,3, 5, y, N = x-i^y^, ar = i, 3, 5,7, . . .,
Dans la formule (3) les arguments des fonctions F sont de la forme 4^+ ^j ^^'^^ ^^ formule (4) ces arguments sont de la forme /[k + i; enfin, dans (5) ils sont de la forme 8^ + 3. Dans tout ce qui précède, F {«) désigne le nombre des classes du déterminant — n pour lesquelles un au moins des coefficients extrêmes est paie. Seulement si n est un carré impair [ce qui peut seulement airaver dans la formide (4)] il faut retrancher | du nombre de ces classes.
Dans la démonstration à l'aide de la théorie des fonctions elliptiques de la formule donnée par M. Liouville, j'ai fait usage de cette formule :
n impair,
(s = k3,5,...; l = o,±^,±i,...), ^AVF = [G(fy— 6?s+9?» + io?i»— 3o$''' + iiî"
ou bien, piir le changement de q en cf,
J'ai observé que cette fonction arithmétique /(5) jouit de cette propriété
Pat' cxeiiiplc,
m et II étant premiers entre eus. Soit j premier de la forme ^k + 3, on aura
En désignant par /? un nombre premier de la forme 4'^-l-i, • pourra calculer les valeurs successives de
/(/."), ;! = <,,., a,3,..., fi^)^^.
à l'aide de la relation
mais il faut déjà connaître f{p)^='i{a^ — i^), p --'-: a- + i a impair.
Mais la valeur générale de f{p" ) se met sous une forme élégat en introduisant les facteurs complexes de p. Soit
Cette fonction arithmétique présente donc une certaine analogie avec la fonction £i(n) que M. Kronecker a introduite dans son ■Mémoire dans les Comptes rendus de l' Académie de Berlin {avril 1875) où l'on trouve ces formules :
En posant de toutes les manières
iiC«) = 2(~i) 2 y [oiiauppose w^ioureE=a(mnd4)]. Veuillez bien excuser la longueur de cette lettre; mais jecro)'3ls
68 COLIRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
devoir vous indiquer comment on peut arriver à ces relations {'i), (4), (5).
Croyez-moi toujours votre entièrement dévoue.
