STIELTJES A IIERMITE

Lcydc, 8 décembre i883,

MOMSIEUH,

Je vous prie de vo\dolr bien présenter à l'Académie la Note cijointe ('). L'espace m'a manqué pour indiquer comment la théorie des fonctions elliptiques condtiit à ces formules; mais il n'y aura pas d'inconvenance, je l'espère, si je donne la démonstration du

(') Sur uii théorème de Liouville. Note de M. StieUjes, présenicc pai- M. Hcrmite {Comptes rendus, 10 décembre i883).

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théorème de M. Lioiiville dans une auLre Note, Je pourrai alors encore indiquer les formules qui donnent les trois autres théorèmes .

J'ai été, d'abord, un peu effrajé des calculs que demandait la vérification du théorème IV. Posons

Le théorème ÏV fait voir que dans le développement

la partie paire est égale à

ou bien qu'on a

^ étant ce que devient 41. pai' le changement de (/ en — g. Or, je trouve

Après quelques réductions on ohtient

2 "^ 3/3it3 ' ' ^'

C'est la même valeur que je troxive poifr

J'ai calculé d'abord la somme

2^(3^'— î/'}?-'"-*-'^' (toujours ^+j impair)

yGoosle

■jO CORRESPONDANCE D HEliaiTE ET

qui s'exprime par

Le cbangemeiit de q en q'^ donne la valeur déjà écrÎLe de

Pour avoir la somme

j'ai pris comme point de départ les sommations des séries

où j'ai remplacé q par q^, etc. Les fonctions de seconde espèce sont éliminées dans le résultat, mais elles entraînent bien des longueurs dans le calcul qui, par là, a seulement le caractère d'une vérification. Mais, d'autre part, les démonstrations arithmétiques demandent aussi quelques développements. Le ibéorème III a été obtenu seulement en suivant la voie que je vous ai indiquée; je n'en ai pas encore une démons tratiott arithmétique comme des autres théorèmes.

Agréez, Monsieur, l'assurance des sentiments respectueux de votre serviteur dévoué.