I. — tl ERMITE A STIELTJES

Paris, i5 décembre i.

Mon SI

^otre Note sur un théorème de Liouville a été présentée à la séance de l'Académie de lundi dernier et paraîtra dans les Comptes rendus de cette séance. Je me rends compte, par les indications contemies dans voti'e dernière lettre, des difficultés qu'il vous a fallu surmonter, et aussi de la joie que vous avez dn éprouver en voyant les fonctions de seconde espèce disparaître dans le calcul delà somme S2(ir^ — iy^)q''''*^^''. Vous aurez certainement donné le premier exemple de l'emploi, pour l'arithmétique, de lalransformalion du troisième ordre, et je suis bien sûr que M. Kronecker et d'autres s'intéresseront vivement à vos résultats. En tout cas, vous travaillez avec une telle activité que je ne puis vous suivre que de loin. J'ensuis encore aux formules (A), (B), (C) de M. Kronecker qui ont été mentionnées dans votre lettre du 24 novembre et qui m'ont rappelé, en réveillant d'anciens souvenirs, une recherche à laquelle je suis revenu. M. Lipschitz, avec qui je suis depuis longtemps lié, m'y a encouragé, et, en me bornant à la pre-

73 CORRESPOKDAKCE d'hERMITE ET I

inière (p. 9,9.g des Monatsberichte) voici mon procédé de démonslration ;

Je reraarque d'abord que, pour un détem

toutes l«s formes, et en particulier les formes réduites, peuvent se répartir en trois catégories, représentées de cette manière :

où a, a', a" sont des nombres impairs et b un nomJire pair. Ceci posé, excluons les formes ambiguës, qui, dans le cas actuel, sont toutes données en supposante = o; supposons de plus le coefficient moyen positif; îl est clair qu'il suffira de changer 6 en — è pour obtenir la totalité des formes réduites non ambiguës. Maintenant, je ramène ces formes à un seul type, le premier, représenté par («, a', o"); mais, au. lieu de limiter le coefficient moyen par k condition -icé <^a., j'admettrai qu'il reçoive la série des valeurs

Considérez, en effet, les réduites («, fc, an'); elles deviennent par la substitution a: =: X + Y, ^ ^^ — Y, au déterminant — i : (a, a — 6, a+ aa' — a à) et renti-ent par conséquent dans le premier type, le coefficient a — b ayant pour limite supérieure a — 2, et le coefficient « + aa' — a è étant supérieur à a d'après la condition ai < 3«'.

Envisagez, en second lieu, les réduites représentées par {a a, b, a')\ elles sont improprement équivalentes à (a', b, a a) et ces dernières formes sont elles-mêmes, comme nous venons de voir, improprement équivalentes à {a', a' — b,a'-\-2a — aè). Or, on retrouve encore par le coefficient a' — b la limite supérieure a'— a et la condition a'+za — zb'^a'. De là je conclus que les formes réduites de ces deux types (a, b, 2a'), (aa, b, a') sont équivalentes, les premières improprement, et les secondes proprement, aux formes [a, a', a") dans lesquelles nous supposons «' = !, 3, 5, ..., a — 3 et a"'^a'. Ces dernières formes peuvent donc être employées à représenter la totalité des classes non ambiguës, en leur joignant celles qui n'en diffèrent que par le signe du coefficient moyen : (a, — a', a").

Ce point él.abli, je fais le produit des séries sTiivanies : J^^^^^4î!»n«. ,„ = ,,3,r„...),

J'intègre ensuite entre les limites zéro et -■ Si l'on remarqui qnol'on.

on trouve ainsi

où d' passe par la suite des valeurs

Développons maintenant le second membre suivant les puissances croissantes de q et il viendra immédiatement

a" prenant, comme a, les valeurs impaires i , 3, 5, ....

Des deux séries auxquelles nous sommes ainsi amenés la première est évidemment

il est clair que aN est le déterminant changé de signe de la forme {a, a", a-^o.a'). Sous la condition relative à a", celte expression, comme nous l'avons vu, fournit la moitié du nombre des classes

y4 coubespondance d'hbbmixe ex de stieltjes.

non ambiguës; d'ailleurs, le nombre des classes ambiguës est précisément <s(N), comme Gauss l'a établi; désignant donc par F(aN) le nombre total des classes de formes quadratiques' de déterminant — aN, OD trouve le beaii résultat de M. Kronecker

■; = 42F(^N)yï^

et l'on obtient pareillement les équations (B) et (C) de l'illiislre géomètre. Ma dernière lettre (') contient une erreur qui tient à ce que j'ai écrit 63 au lieu de 6, et ma formule obtient par là une autre signification que celle que j'ai indiquée; une autre fois j'y reviendrai. Tous mes vœux, Monsieur, pour le succès de votre travail et la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes scnlimenls bien dévoués.

MOKSIECR,

Vos propositions concernant les fonctions que vc A(n) et B(/i) me semblent extrêmement belles, et j'étais bien loin de m'attendre que ma relation (a) put avoir d'aussi importantes conséquences. Je ne puis pas garder pour moi seul les beaux théorèmes contenus dans les équations (5) et j'en donnerai communication à l'Académie, pour qu'ils paraissent dans les Comptes rendus {^), étant bien certain qu'ils seront accueillis avec l'intérêt qu'ils m'ont inspiré. Je supprimerai toutefois la fin de votre lettre, non parce qu'elle ne serait pas assez intéressante, mais uniquement pour iie point dépasser l'étendue réglementaire des Communications insérées dans les Comptes rendus par les auteurs qui

( ') Il s'agit probablement de la lettre 34, mais nous ue voyons pas à quelle erreur M. Hermile fait allusion, ni quelle est la signification qui a été indiquée.

(') Les Compte» rendus du 3i décembre i883 conliennent une Note de Stieltjes, exlrait d'une lellre adressée à M. Hermite : Sur le nombre de décompositions d'un entier en cinq carrés. La lettre dont il est question ici nous manque. Il y a lieu de signaler que la table du Volume des Comptes rendus, par noms d'auteurs, ne mentionne pas

ii'apparlienneiit pas à l'Académie. Un jour viendra j'espère, et mon confrère M. Tisserand a eu la même pensée que mol, où -vons aurez droit à un nombre de pages moins restreint, et alors je me féliciterai pleinement de vous avoir engagé plus complètement que vous ne l'étiez dans la -voie arithmétique. Mais ménagez, Monsieur, votre santé; je n'étais point sans un peu d'inquiétude en apprenant de vous, précédemment, que le travail vous avait été défendu ; je me rappelle ce qui m'est arrivé à moi-même lorsque je me suis occupé de l'invariant du 18* ordre des formes binaires du 5" degré quiétait alors le premier exemple d'un invariant gauche, et je m'autoriserai de nion expérience pour vous mettre en garde contre l'excès du travail. Votre intention doit être de réunir et de coordonner les nombreux résultats auxquels vous êtes parvenu el ceux que vous découvrirez encore. Je me permettrai, s'il en est ainsi, de vous recom- . mander, pour les publier, le journal de Stockholm, Acta mathemadca. L'éditeur, M. Mittag-Lefûer, fera à vos recherches un bon et cordial accueil : c'est dans son journal que paraîtra une seconde fois, à cause de sa publicité plus étendue, un article que j'ai adressé au Bulletin de l'Académie des Sciences de Saint- Pétersbourg, à la demande de M, Bouniakowsky et qui contiendra les démonstrations des équations (A), (B), (C) avec quelques remarques ('). Je compte faire suivre cet article de plusieurs autres sur les points que.je vous ai communiqués, suivant la possibilité que j 'aurai de travailler, et ce me sera extrêmement agréable d'être réuni dans ce Recueil avec vous et M. Lipschitz.

Veuillez, Monsieur, pour la nouvelle année, recevoir mes vœux bien sincères pour le succès de vos travaux et poiir votre bonbeiir, et croire à tous mes sentiments de sympathie et de haute estime.

( ') Le Mémoire dont parle M. Hermite est, en effet, insévé au Tome V des Acta niathematica, p. 297-330, sous le titre : Sur quelques conséquences aritliméliques des formules de la théorie des fonclioits elliptiques.

CORBESPOKDAKCE D

r DE STIELTJES.