STIELTJES A HERMITE

Monsieur,

Permettez-moi de revenir encore, pour une dernière fois, sur le sujet de ma dernière lettre, parce que je viens de faire une remarque qiii éclaircit une circonstance qui semble singulière.

En effet, j'avais trouvé que l'équation

admet deux intégrales particulières u et v telles que le rapport - : ^ est constant, <Si et ^i étant deux intégrales particulières de W .(.-«)ë + |-, + .-(.+ p + ,).lg-.(f + ,)^ = ..

La raison bien simple de cette eireonslanee est qu'on passe de (i) à (a) par

«. = aiï(l--a,)»-ïj-;

on en conelut à cause de

,r = x#(i, p + 1. -( + 1, 1) + *i-rif(« - -[, p -n - Y, I - 1, a!),

OU bien

La comparaison avec l'autre forme de l'inlégrale oLlenue donne : p^ 1 r tàx $

Les seules choses que j 'aie obtenues, à proprement dire, "sont donc ces deux identités (3) et (4)faci!es à vérifierd'ailleurspardifférentiatiou logaritlimii^ue. 3e rappelle

on retombe ainsi sur deux relations identiques entre trois fonctions §. En considérant le cas particulier traité par M. Cayley, j'ai obtenu cette relation :

Posant k^^ -, j'avais trouvé antérieurement am-'- = 64''ir'rG",5g, iogsin = 9,g54 35ai, logsins = 9,908 7042;

128 CORRESPONDANCE D HERMIIE ET DE STIELTJES.

la fraclion continue m'a donné

Iogsiii2 = 9,9o8 7o43.

D'aprèslesrègtescleM.Scliwarz,#^^,'^,|,^3^ ^^^(^' ~g' I' ^^^) sont toutes les deux fonctions algébriques de k. Leur rapport l'est donc aussi, comme nous le vojons aussi par la valeur sin^am -^ ■ Je crains bien, Monsieur, d'avoir demandé trop de votre indulgence, mais ce résultat - : ~ = consl. me sembla bien singulier avant que j'en aie (avais) aperçu la raison si simple. "Votre très dévoué.

P. S. — Voici une des formules les plus remarquables auxquelles (à laquelle) j'ai été amené (comme expression d'un théorème d'Arithmétique) :

(3' +?»+ 9^5 -1- -7" + ,..)(, 3^8.1 4 ^^3,4 __ajs-9 + ...)