STIELTJES A HEHMITE

Ujde, 10 1

Je vous suis très reconnaissant pour la manière trop bienveillante avec laquelle vous avez bien voulu prendre connaissance de ma lettre précédente, et de l'envoi de vos opuscules, qui sont pour moi d'un prix inestimable. Je ne peux que vous exprimer mon chagrin que, pour le moment, mon peu de loisir ne me permettra pas de les étudier comme je voudrais les étudier, car je suis très convaincu de l'importance fondamentale de ces belles recherches qui pénètrent si profondément dans la théorie générale des fonctions.

J'aurais certainement fait communication de mes résultats à M. Tisserand, mais je savais qu'il est allé observer le passage de Vénus.

Je hasarde encore à vous envoyer avec cette lettre une petite Note (') sur un sujet bien élémentaire qui aura besoin de toute votre indulgence. Étant écrite en hollandais, je veux en exposer l'esprit en quelques lignes.

Vous avez fait connaître, dans le Tome 84 du Journal de Borchardt (*), l'expression analytique du reste de la formule d'interpolation de Lagrange. J'avais pensé qu'il serait possible (l'arriver d'une manière élémentaire à une expression de ce reste, analogue à celle de la formule de Tajlor, donnée par Lagrange. Voici comme j'y arrive ;

Si la fonction <^J{z) s'annule pour s = a- et ; = .Ti (a^ < j;, ),

Si maintenant (j'(3) s'annule encore pour z^=X:j'^a:,, on aura de même

( I ) Le Mémoire de Siieltjes a pour titre : Over Lagrange's interpolatie-formule { Verdageii en Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetensc/iapjie/i ie Amsterdam, s' série, t. XVTI, p. aîg-ï54; i88a).

( 5 ) Le Mémoire d'Hecmile est intitulé r Sur la formule d'interpolation de Lagrange (Extrait d'une lettre de M. Ch. Hermite k M. Borchardt).

En généra), si Ç\{z-) s'annule pour z-=:x,Xt,X2, - - ■; ^'« (a:<;^, <X2 . . . < x„),

à la condition que, pour toutes les valeurs de s enlre x et x„, les fonctions Ç'(z), Ç"(z), . .., fj''"~''(s) soient finies et continues, et que, pour les mêmes valeurs de z, ff"'~"(s) admette iine dériyéeg"W. ■

Soit maintenant ^(a:) le polynôme de Lagrange, qui pour a; ^ x,, X2, . . ., x,i prend des valeurs/(,'C,),/(^2), , . ., f{xn), et posons

comme il s'agit d'obtenir une expression simple àe f{x) — ^(x), nouspouvons supposera différent de Xj, x^, , . ., x,,, et alors la valeurde R est parfaitement déterminée par l'expression précédente. Si l'on envisage maintenant la fonction

il est évident qu'on a

donc

où ■/! a une valeur entré la plus grande et la plus petite des quantités x, :c,, . . ., a^„. Mais if (s) étant au plus du degré /? ^ i, on a

Il est facile d'étendre ce raisonnement au cas que plusieurs des quantités iT), . ■ ., x„ sont égales. La forme dii reste, ainsi obtenue, est aussi une conséquence immédiate de la belle formule que vous avez fait connaître.

C'est avec le plus profond respect, Monsieur, que jesignc votre très reconnaissant.

4 i;0UliltSPOM)ANCE U HEIIIIITE ET DE SIIELIJES.