STIELTJES A HERMITE

MOSSIEUR

Je ne crois pouvoir mieux répondre à votre lettre cjii'cn vous envoyant une démonstration de ma série — h C ^ C,.* +. - - rpi me semble à l'abri de toute objection ( ' ),

L'idée de considérer X,{s + i) comme définie par

est bien natiircllemont indiquée par la forme des coefficients G. Toutefois, ce n'est pas ainsi que j'ai trouvé d'abord ces coefficients. Mais on peut aussi, avec certaines précautions, obtenir le développement de cette façon et détruire tous les doutes. L'équation dont je fais usage,

-irfe/"(^r-^)--

esl valable pour partie réelle de s > — i , el étend ainsi déjà la définition originelle (originale).

Mais on a

et l'on peut écrire ainsi :

«"-*-)=-l+; + nrôi'" (?£t-î-0'""""

(PRs>-i),

-mr(^-^-^^')—

(PR!>-li),

(') Voir s la fin de cette lettre.

iSs CORRESPOMDANCB D'nEKMITE ET CE STIELTJES,

I : n(s) étant holoBiorphe dans tout le plan, on reconnaît aussi, en procédant ainsi, le caractère analytique de la fonction K {')•

J'avais cm, un moment, que ce procédé ne différerait pas au fond de votre méthode ; mais cela ne me semble pas vrai et, tandis que votre méthode donne aussitôt les valeurs de Ç{o), Ç( — i), J^( — s)..., les expressions précédentes donnent

et ce n'est qu'après avoir profité de ces relations

ï "^ 3 ^ ïTâ ^ "' F-^^-^7^ -H5.4.3-

[u'on trouve les valeurs définitives.

Ces relations (A), du reste, découlent de

Cette fonction «C présente pour moi encore bien des difficultés; »ar exemple, jusqu'à présent, je ne vois aucun mojen sûr d'évaluer

(I) Dans ces formules, II(s) désigne, suivant les notations de Gauss, la fi lion eulérieone r(i + i), et PRs ia partie réelle de la variable imaginaire s.

lktthe 75. i53

à peu près l'ordre de grandeur de C* lorsque k est graiiLl. Je penche un peu pour croire que les Ca eux-mêmes (sans être divisés par 1.2...A-) diminuent rapidement; mais je ne vois pas clair et peux me tromper.

Je vous remercie encore d'avance, Monsieur, pour la rédaction de votre démonstration de X,{z + i) = - + fj'(s) et suis avec le plus profond respect, votre serviteur bien dévoué.

Développement de Ç{s-]-ï).

Je pars de la relation

que j'écris d'abord sous la forme

ce qui met en évidence déjà que

q{s + i)^\ = G (pour. = o),

C étant la constante bien connue d'EuIer.

En développant l'intégrale suivant los puissances de s, il vienl

Je vais calculer maintenant la valeuv de a„. Pour cela, je rappelle que

n(.!)= f X^E-^dx,

d'où, en différentiant n fois,

ni»i(o) = y {losxYe-'dx^k J (logir4-log*)"e-*'<fe,

(2) J'{\«s^ + Usk-,'e-'-d„-jW'{o) (i>o).

54 roiiREsrONnANCR n her^iiik kt de stiëltjes.

En posanl, pour abréger, loga- + \ogk =; T, on aura

/O'-e-^^rfa;,

f^ iXogœYa-"- dm ^ J" Cl-V et développant la formule du binôme, on Irouve, à l'aide de (^),

(j) y"(ioga,).«-'«rf»

'.n.,o,i-ïn..-.<.)!2|^^ï<^n..-..(.)tt!|e^.„.

En prenant successivement A- = j , 2, 3, . . . , r, et faisant l'addition

Le premier membre peut se mettre sous la forme

+ r ^ 1 [loga^j^rfa^

~ j ( I 'e-.t — ^) «-"'^"■^(loga;)" rfa:'.

La première intégrale est précisément a,j, la troisième tend évidemment vers zéro; quant à la seconde, en la désignant pary(r), il vient

/'(,.) = J%-('-^i)^(log3^)«rfa.

c'est-à-dire, d'après (3),

donc, /(r) s'évanoiiissant avec r,

/(.).n.(o)].s(- + ,)-!n.^.(.,OSf<^

Il vient donc

=[i"(o)ry+i+...H- j-iog(,-+i)]

-în.-.(.)j'îf^H-...+ l2i:-}.[los(,- + ,)]-i ^MZL=Ou.-,(.)j<!î^^...^(l^-i[,og(,. + „l.|

et, pour r =; co, en posant

Cette valeur de o,, montre bien que la série

est le produit des deux séries

et

Or la pi-emière série étant le développement de n(i), l'équation (i) donne

p/cj-ï^— 'j-r r c i^t3— '^3 j

l56 CORnESPONDAKCE Tl HRRJIITE ET DE SIIELTJEB.