STIELTJES A lŒRMITE

Paris, a8 juin i885- MOJNSIEUE,

En réfléchissant sur cette question de la conliniiation analjtique de fonctions définies par des intégrales définies dans une partie du plan seulement, j'ai fait cette observation bien simple que

tantque la partie réelle de «reste comprise entre — /i et ~ (h -H i). A l'aide de cette remarque, on trouve facilement qoe la continuation analjtique de

esL donacc par les formules ii(a)=r!c—'[—'~~^'jdi (o<PHo<iO

■Ha)=f *"-'(ï^-î ^j)''» (-i<PHa<o),

»{»).y"»--<(-^-i + J-J^i) (-3<PR<.<-,),

Ces formules sont d'un caractère bien différent de celles que je vous ai d'abord communiquées.

Comme (une) autre application, j'ai considéré la fonction

définie d'abord pour o <;PRa<; I seidement. L'équation

donne déjà la continualion de /"(«) dans la kande ùois fois plu,

eL l'on voit qne, dans celte bande, /"(«) a deux pôles, savoir a^ ci e t « = + L avec les résidus + i et — i . Or, nous avons vn que

Donc o'esl-à-di

r(«)-y%«-H«-^-r).te (-K

Cette relation, démontrée d'abord seulement pour les valeurs de a dont la partie réelle est comprise entre — i et o, peut s'étendre ensuite à tout le plan.

Ce raisonnement bien simple, qui suppose toutefois la notion de la fonction F, a donné ainsi les propriétés les plus caractéristiques de la fonction /(a) et l'on peut déjà conclure que

f{a)^\<var. et /(„)^jJL-

sont boloinorphes dans tout le plan. On sait bien que

J'espère, Monsieur, que vous voudrez bien recevoir avec votre bienveillance habituelle ces remarques qui sont, je le reconnais bien, d'une simplicité peut-être trop grande.

Veuillez bien agréer, Monsieur, l'expression de mon profond respect et de mes sentiments tout dévoués.

- STIELTJES A [TERMITE.

MoMSIF

En continuant à creuser dans la nature de la fonction 'Q{z), je vois enfin la route ouverte pour arriver à tous les résultats annoncés par Riemann. Cependant j'ai dô prendre un chemin bien différent que lui n'a indiqué, et le passage où il dit avoir obtenu le nombre

I DE SllËLIJES.

approclié des racines de ^(() := o à l'aide de l'intégrale / (:/log^(() me reste absolument incompréhensible; je ne vois aucun moj-en pour évaluer cette intégrale. J'ai été pourtant assez heureux (à) poiir éviter cet écueil en démontrant cette propriété annoncée comme très probable par Riemann, que toutes les racines de Ç{ i) ^= o sont réelles. Par là, la question esl ramenée à la discussion d'une fonction réelle pour des valeurs réelles de la variable et cela est faisable, du moins, et j'ai fait assez dans cette direction pour être sûr d'atteindre mon but.

Mais toutes ces recherches demanderont encore beaucoup de temps; je dois, en outre, vérifier mes calcids des constantes C,, Ci, . . ., C; et je me propose d'y joindre les valeurs des coefficients D, D,,D,, ..., D5 :

D* = (logï)*-t-(Iog3)*+„.+[log(«-,)]4^i(log/i/-y (log«)*rf«

(/C=I,2, 3, ...) Di=^log(3^)-),

Comme je ne puis pas pousser, en ce moment, activement ce travail à cause d'autres devoirs, je me propose de prendre un peu haleine et de laisser tout cela pendant quelques mois. Mais il n'y aura pas d'inconvénient, je l'espère, à publier dans les Comptes rendus la Note ci-jointe qui, ce me semble, doit intéresser les géomètres qui ont étudié le Mémoire de Riemann. La fonction!^ (s) est intimement liée à bien des l'echerches arithmétiques sur certaines lois asjmptotiques relatives à la suite des nombres premiers, etc. Par exemple, quoique je nel'aie pas démontrée encore d'une manière rigoureuse, je n'ai aucun doute sur l'exactitude de cette proposition que ^(x) — loglbga: converge pour x^co vers une limite finie dont l'expression esl un peu compliquée, ^(iv) indiquant la somme

1 + 4 -I- T + - ■ ■ ■ relative à tous les nombres premiers infé-

rieurs à ici. M. Halphen, du reste, dans les Comptes rendus du 5 mars i883, a indiqué l'intervention de la fonction ^(s) dans ces questions.

Je m'estime heureux qu'en vous demandant de me rendre le scr-

LUTTBE 78. iSg

vice de faire insérer dans les Comptes rendus k Note ci-joinle ( ' ), je pouri'ai maintenant moi-même corriger les épreuves, quoique naturellement, j'accepterai avec reconnaissance les corrections dans le langage qui pourraient vous sembler nécessaires dans le cas que vous parcourrez ma Note.

Je suis avec im profond respect, Monsieur, votre bien dévoué.