HERMITE A STIELTJES

MoNsiEuii,

Votre belle découverte au sujet de la proposition de Rie sur l'équation \[t) = o m'intéresse au plus haut point, et pour la grande importance du résultat d'avoir mis hors de doute cette proposition et aussi par la méthode que vous avez employée. Rien ne me fera plus plaisir que de connaître par quelle voie vous avez opéré

l'extension analytique du produit II f i -) à partir de s >■ -;

cette voie est hors de ma portée el je ne puis m'en faire aucune idée. Lundi prochain votre Note sera présentée à la séance de l'Académie; je n'ai rien trouvé à changer à votre rédaction qui est extrêmement claire et correcte, si ce n'est que d'écrire 5(3) au lieu de Ç{^) afin d'employer la notation dont Riemann s'est servi dans son travail. Si voua voulez, je tiens àvoEre disposition pour y être intercalée, dans le cas où ce serait encore à votre convenance, la démonstration de la formule $(s) =^ —~ — h-dX^); en allant corriger les épreuves mercredi, à l'imprimerie Gauthier-Villars, vous l'ajouteriez à votre texte (*).

Avec mes bien sincères et bien vives félicitations, je vous renouvelle, Monsieur, l'assurance de ma phi:^ haute estime cl celle de mes sentiments dévoués,

{') Voir Comptes rendus, Sur une fonction uniforme, t. CI, )3 juillet i885, p. i53.

(') Voir, Comptes rendus, la Note de M. Hermite, t. CI, i3 juillet i885, p. 112.

CORIiESPO^■DA^■CE d'hebmitk et de stieltjes.

- SrilCLTJES A HERMITE.

Recevez mes remercîmenLs sincères pour la rédaction définilive de votre démonstration de ^{z) =- — — — |- Q{z), cette marque de votre bienveillance m'est bien chère. Mais permettez-moi, maintenant, de remarquer que dans ma Note je me suis tout à fait

conformé à la notation de Ricin Riemann pose (C(î) = 7, -

Apr^

■que

ne change pas en remplaçant s par 1 obtenue en multipliant par - s{s — i)

qui aiu'a la môme propriété. Ce qui revient à dire, qu'en posant s 7= — h Li,

sera une fonction paire de t qu'il désigne par ^(().

L'expression qu'il trouve directement pour S{i), qui fait voir en effet que cette fonction est paire, fournit donc une seconde démonstration de la relation entre (C(s) et Ç(i — s) obtenue d'abord. Quant à la fonction \{t), vous voyez qu'elle a perdu le pôle s ^ i et les zéros j ^ ^ a, — 4i ^ 6, . . .. Or, la relation

montre que Ç(s) n'a point de zéro dans la partie du plan où partie réelle j >■ i. La relation entre i^(s) et l^(i — s) montre en-

IJilTRE 79, l6l

suite que, dans la partie du plan où la partie réelle de s est négative, s =: — 2, — 4, — 6j ... sont des zéros, et les seuls zéros.

La fonction ^{ () ne peut donc avoir de zéros que dans la bande où la partie réelle de s est comprise entre o et i , ou, ce qui revient au même, si l'on a ^(« + bi) ^ o, 6 doit être comprise entre — et -f- - ■ Riemann dit, maintenant, qu'il est très probable que tous les zéros de la fonction Ç(() sont réels (6^^o). Or, ayant posé j ^ — h ti, cela revient à dire que toutes les racines imaginaires de ^(s) sont de la forme - -\-ai, a réel. C'est sous cette forme, légèrement différente, que j'ai exprimé la proposition de Riemann, n'ayant pas voulu introdiiire la fonction ^(t) qui n'est pas l'objet principal de la recherche et s'introduit plutôt comme auxiliaire dans l'étude de la fonction i^{s). C'est, du moins, ainsi que j'ai envisagé la chose. Il est vrai que cette fonction ^{t) réunit en soi toutes les difficuHés si l'on lâche d'obtenir la décomposition en facteurs primaires de

En considérant l'expression obtenue par E.iemann pour S('), on trouve bien qu'elle a des racines réelles; mais j'ai inutilement cherché à déduire de cette expression, par intégrale définie, qu'elle a toutes ses racines réelles, et j'avais désespéré de démontrer cette proposition encore un peu douteuse, lorsque j'ai aperçu qu'on obtient cette proposition en modifiant légèrement le raisonnement de Riemann pour obtenir les zéros de ^(s) en dehors de cette bande mystérieuse où la partie réelle de s est comprise entre o et I . En effet, si, au lieu de i : %{s) = | | ( ^ ^ ~; ) ' j^ consi-

dère ,:Ç(,) = ,-^:;-i-J-, + ^ + ...=2/ii), il j .

cette différence capitale, entre le produit infini et la série, que la dernière est convergente pour s >• - > tandis que, dans le produit, il faut supposer 5 ]> i . Voici comment je le démontre ; La fonction /(n) est égale à zéro lorsque n est divisible par un carré et

102 CORRESPONDANCE D HBRMITE ET J)E STlELTJIiS.

pour les autres valeurs de h, égale à ( — i)*, k étant le nombre des facleiiTS premiers de ii. Or, je trouve que dans la somme

les termes rb i se compensent assez bien pour que ,- reste toujours comprise entre deux limites fixes, quelque grand que soit n (probablement on peut prendre pour ces limites -l- i et — i). De là il suit, s étant > - 1

et de même k série ^- \1l est convergente, ]^(«) | désignant la valeur absolue de^(«).

Ce qu'il faut démontrer, c'est qu'on peut rendre ^ ■= — j^ aussi

petit qu'on veut par un choix convenable de n. Mais, à l'aide Aef{n.)^= g{n) — g(n — i), cette expression devient égale à

Mais on a

Donc

Or, la série ^ ^ étant convergente, on peut rendre

lg(»)l , ly("^')l li-(» + --i)l

LETTRK 79.

aussi petit qu'on veut : la même posant

De [jliis, les termes ~ -~ c'i- ^ — convergent vers zéfo

et peuvent être rendus aussi petits qu'on veut. Donc la série ^^' — — est convergente pour ^ >■ -• Je crois qu'elle converge encore pour la valeur réelle .?=:-> mais je n'ai pu le démontrer. Ce qui est certain, c'est qu'elle ne peut converger lorsque 5 < - et, s étant <;

il est donc impossible qiie — ■-■■ '■■;""' — '■ reste compris*

entre deux limites fixes car on en conclurait, comme plus haut, la convergence de \ ^^ — ~ pour des valeurs de s inférieures à ce qui est impossible . Cela montre plus clairement la nature d cette proposition sur laquelle je me suis appuyé, que

reste comprise entre deux limites fixes.

Vous voyez que tout dépend d'une recherche arithmétique sur celte somme f(i) -1-/(3) + . . .~|-y(/i). Ma démonstration estbien pénible; je tâcherai, lorsque je reprendrai ces recherches, de la simplifier encore.

Mais on peut déjà se faire une idée de la lenteur avec laquelle croît j^{n) (ou plutôt aveclaqnelle croît l'amplitude de ses oscillations) par la relation k^=^\ijn)^

la fonction h{x) étant égale à 1 ou à o, selon que E(a;) est impair ou pair. Comme g{k) est naturellement <^k en valeur absolue,

i64 COR 11 ESP os DAN" CE D HLliMIT]! ET DE STIELTJES.

VOUS voyez que

-'if)— (S)

est inférieur à a/c-i-i en valeia' absolue, eliuôme à A -i- 1 lorsque /r est pair.

Vous voyez bien, maintenant, comment cette étude de ^(s) m'a amené à des spéculations aritlimé tiques. Mais excusez-moi d'avoir parlé, dans ma lettre précédente, de cette proposition

qui a été démontrée déjà par M. Mertens (Crelte, t. 78) qui a donné aussi la détermination de A, après avoir été, antérieurement, considéréeaussiparM.Tchebjchef (^o«7-«. de Liou^'ille, i"'^ série, t. XVII). Legendre, déjà, doit l'avoir obtenue par induction.

J'espère, monsieur, que cette lettre n'est pas ti-op longue; je liens surtout à vous avoir convaincu que je ne me siiis pas éloigné de la notation de Riemann : c'est, ce me semble, un léger malentendu.

Je suis, avec un profond respect, monsieur, votre bien dévoué.