HEBMITE A STIELTJES

Flanville par Noisevilk ( Lorraiiic ), ir septembre i885, MOKSIETÎR,

I, 'extension que vous avez découverte du théorème de Riemann i la fonction «(s) ^^(- ) X" est extrêmement belle et je vous

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félicite bien sincèrement de celte nouvelle découverte. Je trouve aussi bien remarquables et intéressantes les relations que vous tirez du développement, suivant les puissances croissantes de x, de la fonction -^ et je n'ai pas besoin de vous dire que vos théorèmes non encore démontrés, mais qui me paraissent, hors de doute, sur les quantités

ont attiré toute mon attention. Il ne m'a pas été possible, n'ayant pas mes livres ici, de suivre l'idée, qui a dû aussi, d'ailleurs, se présenter à votre esprit, de les conclure des théorèmes fondamentaux de Riemann concernant les fonctions %{^x')^ en remplaçant le symbole [-] par les formules de Gauss, en sinus et cosinus; mais peut-être aurez-vous déjà suivi cette voie et serez-vous parvenu au résultat. Permettez-moi aussi d'appeler votre attention, au sujet de la même question, sur un article des Anciens £^xercices deCfiachy dans lequel le grand géomètre obtient précisément le théorème concernan 1 1 / ~^- comme conséquence d'une relation extrêmement générale entre les fonctions auxquelles il donne la dénomination de réciproques. Mais il vaudra mieux qu'à mon retour à Paris je puisse causer avec vous de toutes ces choses dont vous allez faire une des meilleures thèses qui aient jamais été présentées à la Faculté des Sciences. Vous n'ignorez pas, sans doute, qu'en outre de la thèse imprimée, on demande une thèse orale, c'est-à-dire une sorte de leçon de moins d'une heure sur un sujet élevé d'Analyse, de Mécanique ou d'Astronomie, qui sera laissée entièrement à votre choix : peut-être que l'exposition des recherches récentes, dans lesquelles vous avez eu une si belle et importante part, sur la variation de la densité à l'intérieur de la Terre, pourrait faire le sujet de cette thèse orale. M. Darboux et mol nous ferions naturellement partie de la Commission d'examen, et M. Tisserand, j'en suis sûr, se joindra bien volontiei-s à nous si vous faites choix, pour seconde thèse, de cette question

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dont il s'est occupe. Mais, je vous le répète, vous avez pleine et entière liberté, et nous acceptci'ons toute autre question qui aura votre préférence.

En vous renouvelant, Monsieur, mes félicitations pour le succcs de votre Travail, et vous priant de recevoir l'assurance de ma phis haute estime et celle de mes sentiments bien dévoués.