STIELTJES A HERMITE

Pai'is, i5 septembre i835.

MoKSiKor,,

Je dois vous remercier beaucoup de voti-e dernière lettre et je ne vous cache pas que je verrais avec plaisir que la Faculté choisît pour sujet de ma thèse orale l'exposition des récentes recherches sur la théorie de la figure de la Terre, auxquelles M. Tisserand a donné l'impulsion. Un autre sujet auquel j'avais pensé, c'était l'exposition de la démonstration, due à M. Poincaré, de l'existence d'une figure annulaire d'équilibre d'une masse fluide en rotation uniforme, énoncé par MM. Thomson et Tait. Mais je crois y devoir renoncer. Je suis trop accablé en ce moment ei cela me donnerait encore trop de travail.

Quant à ces propriétés de S{x) et Q{x), j'avais reconnu de mon cAté qu'elles découlent presque immédiatement des propriétés fondamentales de la fonction 6 et des formules de Gauss, en sorte que votre prévision est réalisée complètement. En effet, sous la condition ab =: t:, on a

et |)0Ui- 5:=;: I, ;i. . . -, jW — r

SoitjO^ i, mod4, posons dans la formule (1)

I7S COURES l'on DAN CE s'hERHITE ET DE STIELTJFS.

el milUipliolis par { - )• Eu sommant sur les valeurs s=^ 1 ,'a. p — I , le premier membre devient, à cause de (a),

mbre, le leniii

Quant au second membre, le terme e ■""' donne naissance . termes

à eause de /- 1 ^ {- j, ce sont les mêmes termes qui figurent

dans {a) : l'ordre seulement est renversé. 11 en est de même des termes qui proviennent de

en sorte que le second membre devient et, par conséquent.

On peut dire aus^i que, sons ia condition ab t= -, on a

La relation qui lie Ç(a;) k(j(~\> c'esL-à-dJre

sous la eoiidiLÎon

ab^- -, p^'i (mod4),

s'obtient de la même manière en partant de la formule obtenue en prenant la dérivée de (i) par rapport à a: et mettant à profit la formule (3). Tout cela suppose p 'i> o sans facteur carré. Les séries

jouissent de propriétés analogues, n parcourant les nombres entiers positifs qui sont premiers à aD.

Ces fonctions ^{:r), ^(x) jouissent-elles de propriétés analogues aux fonctions modulaires? C'est là une question qui se présente naturellement, mais dont je n'ai pu encore m'occuper.

Veuillez bien agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de mes sentiments de profond respect et

I STIELTJES.

Monsieur,

Permettez-moi de vous engager à vous présenter à M. Lucien Lévj, Directeur des Etudes à l'Ecole préparatoire de Sainte- Barbe, de la part de M. Désiré André, Professeur de Mathématiques spéciales à cette école, à qui j'ai donné commission de vous trouver des leçons, conformément au désir que vous m'avez exprimé. M. Désiré André a réussi dans ses démarches et m'écrit que M. Lucien Lévy vous recevra à son bureau, rue Valette, n" 4,

iSo CORRESPONDANCE D HHRMITE EX l>Ë STIELT)£S.

à 5'' de l'après-midi, et que le plus tôt cjue vous pourrez venir sera le mieux. Peut-être, Monsieur, ferez-vous bien également de rendre visite à M. André, 25, rue Gay-Lussac, qui est un de mes élèves et mathématicien distingué ayant publié dans les Comptes rendus plusieurs Notes ti'ès intéressantes sur la règle des signes de Descartes; je crois pouvoir vous assurer d'un bon et cordial accueil de sa part.

Je prends à cette occasion la liberté d'appeler votre attention, pensant que vous travaillez à votre thèse, sur un Mémoire de M, Léopold Gegenbauer, publié dans les SUzungsberichte de l'Académie des Sciences de Vienne, LXXXIX Band, en 1884, p. 37, et qui roule principalement sur la fonction iC(s) de Riemann. Vous y trouverez une foule de résultats qui me semblent très intéressants, mais vous serez meilleur juge que moi de leur valeur. Je puis, si vous le désirez, mettre le volume à votre dispo-

En vous renouvelant, Monsieur, l'assurance de ma plus haute estime et celle de mes' sentiments bien dévoués.

STÎELTJES A HERMITE.

MOKSIEOII,

Je viens de recevoir votre lettre, et je dois vous remercier de tout mon cœur, quel que soit, du reste, le résultat de la visite à M. Lucien Levy que je ne tarderai pas à faire. Je ferai aussi avec un grand plaisir la connaissance de M. D. André, dont je me rappelle bien les Notes dans les Comptes vendus. L'ingénieuse définition de certains nombres entiers qui donnent aussitôt les coefficients dans les développements de langic, séc^, comme nombres de permutations, jouissant de certaines propriétés, s'est gravée dans mon esprit.

Je travaille à ma Thèse Etude de quelques séries semi-com-ergentes, en deux mois j'espère l'avoir finie, Votis voyez, par là, que j'ai abandonné ma première idée. En effet, d'un côté, j'étais peu content de certaines parties et, de plus, j'avais vu que le

sujet comporlo encore de grands développements que j'entrevois un peu, mais qui demandent encore beaucoup de travail. En m'indiquant, l'an dernier, un Mémoire de Cauchy sur les fonctions réciproques, vous m'avez mis sur la voie des questions nouvelles qui se sont présentées à moi. Vous voyez, par là, que je dois encore remettre à quelques mois l'étude du Mémoire de M. Gegenbauer qtie vous venez de m'indiquer, malgré l'intérêt qu'elle m'inspire.

Ma Thèse contiendra beaucoup de choses qui voos intéresseront bien peu. Ce qui vous plaira peut-êlre le mieux, c'est que j'ai l'idée d'une série semi- convergente pour T{ai) a réel très grand on pliilôt de \ogT(a/).

La définition de Gauss

ntre de suite qu'en posant

r(ai) - R(cose^-i5iLie),

c'est-à-dire

où l'on doit prendre le signe supérieur ou inférieur, selon que

a est positif ou négatif et les arc lang compris dans les limites ± - ■

Vous voyez que

\ogT{mi T= logR-i- (6

et la série semi-convergente est celle de Stirling appliquée à des valeurs imaginaires. Quoique celle idée de considérer, dans la série de Stirling, des valeurs imaginaires est bien simple et que je l'ai eue depuis longtemps, sans la développer pourtant suffisamment, je n'ai pas vu qu'on l'ait eue déjà. Pourtant, il m'est difficile de croire qu'elle soit nouvelle. Je me rappelle aussi qxie

Gaussa calculé (je crois) {') la "valeur de n(/) = r(i + () en la déduisant de n(io + i), cette dernière quantité élant obtenue à l'aide de la série de Stirling. L'observation que

et !a formuie de Binet

(p. io4 de Yott-e Cours, second tirage) donnent lieu à cette conséquence

ce qu'on trouve aussi facilement à l'aide de

(p. loi de votre Cours) cl

C' cosax Tt

J^ 3!^ -h Ô^ ~ >.b t, > 1 "- OJ.

Tout cela est si simple que j'ai peine à croire cpie c'est quelque chose de nouveau.

Veuillez accepter, Monsieur, la nouvelle assurance de mes sentiments de reconnaissance et de profond respect.

!- 0,49801^6-0, i54p49fi'-

yGoosle

- HBRMITF. A STIELTJES.

Voire expression de logT(«i) esL exLrêmemeiiL éléganie et m'intéresse beaucoup. Si vous vouliez bien prendre la peine de rédiger pour moi la démonstration de la formule

je l'ajouleraJÈ à ma Leçon sur les intégi-ales eulériennes, dans la troisième édition de mon Cours à laquelle je travaille et j'aurais grand plaisir à vous associer à mon œuvre et à faire connatlre votre nom à mes élèves. A cette occasion, permettez-moi de vous informer que M. Lipsichta a donné, en iSS^, dans In Journal de Borckardt, l'équation

I— 1)"'B„„ T li,„.n £-^£'/

OÙ £ et e' sont ■< i.

En vous écrivant hier, j'avais mis sur l'adresse de ma lettre le n" 12S, j'ai eu crainte, en me rappelant après qiie vous étiez au n" 120, qu'elle ne vous parvint pas, et j'ai éei-it une seconde fois; peut-être que vous aurez eu les deux lettres qui contenaient absolument la même chose. En vous souhaitant bon courage pour votre étude des séries s emi- convergentes, je vous renouvelle, Monsieur, l'expression de mes meilleurs sentiments.