STIELTJES A HEItMITE

Paris, i4 février 1886.

MONSIEUIU

En recevant ce matin une lettre conforme à celle que j'avais reçue hier, j'ai tout de suite expliqué ce fait comme vous venez de le faire, quoique je n'avais pas remarqué l'erreur dans l'adresse

DANGE D HERJIITE ET DE STIELTJES.

de votre première lettre. Maïs vous m'avez rendu un très grand service en m'indiquant le travail déjà ancien de M. Lipsichlz qui m'était inconnu et dont je dois prendre connaissance.

Je suis bien convaincu que M. Lîpsîchtz a, pour la première fois, étendu à des valeurs complexes, sinon la série de Stirling, du moins sa dérivée. Vo\is trouverez plus loin encore une remarque sur la formule de M. Lipsichtz.

Vous me demandez une démonstration de la formule

mais il me semble qu'elle exige à peine une démonsirati ciale, car, en considérant l'expression

il suffit de se rappeler que l'argument d'un produit est égal à la somme des arguments des facteurs.

Je développe un peu ce que j'avais peut-être indiqué trop confusément dans ma lettre. D'abord, rien n'empêche d'attribuer, dans la formule de Binet,

(,) logl-(a)

--. ('^-l) log« — n + losv'a7t+-^ r 'ï!^e-'"^d

à la variable a une valeur imaginaire, à condition seulement que la partie réelle soit positive. [La fonction 'f (^) a le même sens que dans votre Cours; si j'ai remplacé x par ^ x dans l'intégrale, c'est parce que cela me semble faciliter un peu quelques développements ci-après,] Je remarque que les expressions logr(a) et log« ont une détermination unique par la condition même que la variable ne doit jamais traverser l'axe des^. Mais il est permis encore, dans cette formule, de remplacer a par ai parce que : 1° L'intégrale

a un sens. On s'en assure, d'après une métliode bi

LETTRE 90, l85'

changeant les intégrales en séries dont les termes sont alternativement + et ~, tandis qn'ils diminuent indéfiniment. Et 2" Parce que

est réellement la limite vers laquelle tend l'expression

lorsque la quantité positive b tend vers zéro. Mais, comme peutêtre la démonstration de cela vous semblera àjîeine nécessaire, je la rejette à la fin de cette lettre.

En remplaçant donc, maintenant, a par ai, i! vient, en supposant a >- o,

i(.gr(ai)- («'■-;) (ioe»+^)-«i + i

+ -i|-SiJ)(„.„..,i„„

d'où

l„eR«log/S-?-f-^losa-i ^':if^

~-!^— if^^"—

L'intégrale - / ■' ^ ■ sinaa; dx, qui figure dans la valeur de 0, converge vers zéro pour a = oo, et c'est celle qui donne la série semi-convergente en peut obtenir cette série semi-convergente de beaucoiip de manières. Une des plus simples me semble ceUe qui consiste à appliquer une intégration par parties à l'intégrale - / 2__Zsinaa;rfa;|, en sorte que

mais la discussion du reste est beaucoup plus difficile que dans le cas de la formule de Stirling. De fait, on peut continuer la série jusqu'au plus petit terme et l'erreur est alors du même

lob COBRESPOKDANCE H IlliUMITH El DE STIELTJES,

ordre que. ce terme; un sorle que k série esl tout aussi pralique que celle de Slirling.

A cet égard, je reiuarquerai que, dans la formule de M. Lipsiclit/. que vous m'avez communiquée

le terme complémentaire devient infini pour a — - o, en sorte

qu'il reste douteux, du moins, au'on puisse calcider -=— .; r

ou ., ■ ■ pour de grandes valeurs de b, par une série semi-conver-

Or, comme je viens de le dire plus lianl à l'égard de r('^); cela est effectivement le cas. Je croîs donc que mon travail ne sera pas imitile.

Vous voveï par la valeur de 0 el par R .-= 1/ — - — -^ -^ que,

lorsque le point s parcourt la partie positive de l'axe des y, en s'éloignant de l'origine, le point dont l'affixe est T(s) finit par décrire, dans le sens positif, une spirale, en se rapprochant rapidement de l'origine, la vitesse angulaire croissant aussi indéfiniment et, de là, on voit comment se comporte la fonction holo-

Considérons encore les intégrales qui figurent dans les formules (a) et, (3), ou plutôt celle-ci :

qui les réunit.

Au lieu d'intégrer le long de l'axe des ic, de o vers A, il est permis d'intégi'er le long de l'axe des y, de o vers B, en évitant les pôles de fp(.ï) par de petits demi-cercles de rayon infiniment petit e, puis d'aller de B vers A par un quart de cercle,

L'Intégrale, le long de BCA., s'évanouit à la limite poiir n =z co, il ne reste donc que l'intégrale de o vers B. En posant x ^^ cl, on obtient, pour la pai-tie rectiligne,

IP

(it)

-<"idt,

. riiuégralion doit s'étendre de o ^i ■^.r. — s, de 2t. -l

/\-n + B, ...; comme! o(f7) (!st réelle, cette ]iarûe est purement imaginaire.

Quant aux petits demi-cercles, ce sont évidemment des moîliés de résidus, cl à cause de

,^fM^y :__/! , ■ ),

on voit qufi le pôle ■inrU donne le terme

Ces demi-cercles donnent, par conséquent, la partie réelle de Tintégrale et

meUanl celte valeur dans (a), je retroTive la valeur

que j'avais conclue d'abord, en envisageant directement la valeur de r(ai) d'après la définition de Gauss.

Mais la noiiveile forme de la partie imaginaire

(; de o à 27: — ^, 377 + E a 4Tr -s) se prête difficilemenl à des développements ultérieurs eu vue de

iSS CORRESPONDANCE V HERHITB ET DE STIELTJES.

la série semi-convergeote. On obtient une forme plus utile en écrivant

et en traitant / —f — , . „ de la même manière, La partie ima-

ginaire peut s'exprimer alors par le logarithme intégral.

J'ajoute maintenant une démonstration de ce fait que les intégrales

3t, = f i^([--e-''-')siLi«3;</:c

convergent réellement vers zéro en même temps que h. J'écris

DfL,= f -h f H- r = aR.,-h31lî-i-3R.3. On a

On voit par là que DM, et 3\L-, convergent vers zéro, car ' ^ reste finie.

Pour faire voir ri go m'en sèment que limOILj^o, j'appliqiie le second théorème de la moyenne

J u{^).{^)dx = u{a)J\{x)dx^i,{b)J ^(x)dx.

Gela suppose que u(œ') varie lonjours dans le même sens. M. Dini [Fundainenti, etc., p. 36o) a étendu cette formule au cas où l'une ou VauU'e des limites (ou même toutes les deux) sont

s notre cas, u{x) ^^. (i

Ot, comme Tinlégrale / ^-—^cof.axdx a

Vi "' '' "

ilonc

lim 31Lj = o lU, finalemeni.

La même démonslration s'applique à l'intégrale n. (Note. — Il parait bien à peu près évident t|iie

.=ii„/"î<^i,-.-«i»,.=.^ = „

mais, si l'on exige une démonstration rigoiTreusCj je n'en vois pas de plus simple) (').

J'espère, Monsieur, que vous voudrez Ijien excuser la longueur de cette lettre el me conserver la bienveillante affection dont vous m'avez donné tant de preuves.

Votre très reconnaissant et dévoné.

( ' ) Noie des édUeurs. — Le Mémoire où Stidijes a esposé les i-ésultata et dans cette leltre esl inséré au ïoiae V de la ^' séiie du Journal de Liouville, 1889, p. 4a5-444-