IIERMITE A STIELTJES

MOMSIEUR,

Votre Communication j qui sera présentée hmdi à l'Académie, est extrêmement intéressante et je vous en fais mon sincère compliment. En voyant avec quel succès vous traitez ces questions si délicates de limites de valeurs des fonctions, dans le voisinage de leurs discontinuités, la pensée m'est venue d'appeler votre attention sur un point de la théorie des fonctions qui me semble digne d'intérêt. Rien n'est, en général, plus facile quand on donne, sous forme rationnelle et entière, une relation entre des fonctions n'ayant que des discontinuités polaires, que de voir comment disparaissent les pôles dans cette relation.

Mais, lorsque au lieu de points isolés on a des lignes entières de discontinuités, il n'en est plus de même. Considérez, par exemple, la fonction y'Â^'f{(!>), qu'on obtient en posant q r^ e'™" dans l'expression

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et qui a l'axe des abscisses pour coupure. La transformation du troisième ordre vous donne la relation

Il faut donc que la coupure ail disparu dans /"(w), mais de quelle manière? Vous savcï,, n'est-ce pas, que Riemann, d'abord, puis M. Dedekind, par une analyse beaucoup plus facile et plus claire, ont obtenu ce résultat important que pour w=::a+(ï, c étant infiniment petit et positif, «(u) est indéterminé lor.sque la partie réelle a est une quantité incommensurable et qu'en supposant a = — I où m et n sont entiers, ^'((i») est zéro ou l'unité.

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suivant que m on 11 sont pairs ou impairs. Je désirerais, mon cher Monsieur, que, dans la même voie, vous fissiez un nouveau pas; il me semble qu'on doit pouvoir établir que y((i') est continu dans le voisinage de la eoupure, en allant plus avant dans l'étude de ijj(£i + te); je voudrais vous inspirer l'ambition de pénétrer dans le mystère de l'indétermination des quantités !f (a) et tp(3a) lorsque a est incommensurable j qui étant indéterminées l'une et l'autre, doivent avoir une dépendance telle que /(a) ne possède plus aucune indétermination. De nouvelles lumières sur ce point de vue se trouveraient amenées sur la théorie des fonctions analytiques et aussi sur les équations modulaires de la théorie des fonctions elliptiques. Vous verrez facilement et peut-être avezvous déjà remarqué que l'existence de la coupure dans «(w) rend possibles certaines relations qui jamais n'existeraient à l'égard de fonctions uniformes n'ayant que des discontinuités isolées. On ne peut donc se refuser à chercher dans l'étude de ces relations des données sur un nouveau mode d'existence des fonctions, et cette étude demande tout d'abord qu'on éclaircisse ce point, pour moi si obsciir, de la disparition d'une coupure, dans une combinaison dont la fonction /(w) donne l'exemple.

Ce m'a été une grande satisfaction d'apprendre que vous vous trouviez bien à Toulouse, et que vos collègues vous avaient fait l'accueil auquel vous aviez droit; permettez-moi de vous prier de ine rappeler ati bon souvenir de votre doyen, M. Baillaud, en l'assurant que je n'oublie point l'engagement qu'il m'a fait prendre et veuillez, mon cher Monsieur, recevoir, avec l'assurance de ma plus haiite estime, celle de mes sentiments aflecUieux et tout dévoués.