STIELTJES A HERMITE

Toulouse, 3o décembre iSSS.

MOSSIEOR,

Je dois vous remercier \ivcnient poiir le précieux cadeau que vous venez de me donner en m'envoyant la troisième édition de votre Cours de la Sorbonne, précieuse, surtout, parce qiie c'est une marque de votre amitié. Je l'ai, comme, vous pouvez le croire.

1()8 CORRESPONDANCE D MERMITE ET DE 8TIELTJES.

déjà parcoiini et j'ai vu qu'il y a de nouveau beaucoup de choses dont je dois profiter.

Je connaissais bien le Mémoire de M. Dedeltind Schreiben an llerrn Borchardt ûber die Elliptischen Modulfunctionen, mais je n'avais jamais pensé à vérifier, comme vous me le proposez, l'équation modulaire dans le voisinage de la ligne des, discontinuités. Je vais faire de sérieux efforts, mais je ne sais si je pourrai trouver quelques résultais qui valent la peine; en tout cas, je ferai de mon mieiix.

J'ai cherché, pour mon Cours, si l'on ne pourrait pas donner un exemple un peu simple d'une fonction qui n'existe que dans une certaine partie du plan, et j'ai rédigé une Note de ce que j'ai trouvé. M. Darboux la fera insérer dans son bulletin ('), Je crois pouvoir indiquer, en quelques mots, ce qiie c'est. Je pose

a,, a,, - ■ , (l'iii ■ ■ ■ sont des quantités dont le module est — - i. On peut développer

et l'on voit que

supposons maintenant que 3 s'approche de a^ par le rayon vecteur, c'est-à-dire posons

z = ai, II,

U étant réel et tendant vers i . Alors le ^'™^ terme de la série

;st réel positif et croit au delà de toute limite. Maintenant, on peut choisir les «,, a^, .-

(') Note des éditeurs. — Voir Bulletin bibliographique des Sciei maliçues, t. XI, a* sériej p. 4fi-5i; 18S7.

manière que, après l'exclusion de ce terme ^ ~^~' '^ série reste convergente pouf z^a/iii, même pour ^i = I, en sorte qu'on a

A étant nne constante. Vous voyez donc que, dans ce cas, la partie réelle de /(s) croit au delà de toute limite, tandis que la partie imaginaire tend vers une limite fixe. Mais il y a un nombre

iuliui de points a/^ sui' un arc quelconque du cercle de convergence C dont le rayon = i.

Voici comment on peut prendre ai, a.^, . . ., an, . . ■ :

a,, a^ divisent C en deux parties égales ;

a,, «s, «3, a.i divisent C en quatre parties égales;

CE), tïj, «3, . . ., «a divisent G en 8 parties égales;

rt,, .... rt,( senties sommets d'un polygone régulier de seize cAiés, etc.

La conséquence de cette distribution des quantités a/, est que

mod(<i,.— as)> —I- ,

3K étant une constante, ;■ le plus grand des deux indices r et s.

Ainsi, il y a bien des points qui s'approcbenl beaucoup de cHi, mais pour que moâ{a/i — a„) tombe au-dessous de s, le nombre n doit croître au moins comme - — — ^ ^ et le facteur —, dans la série

\ — j \, assure alors la convergence. Du reste, la même

série ^ — 3 ( ~— 1 donne aussi l'exemple d'une l'onction qui n'existe qu'à l'extérieur du cercle C.

aoo COBRESPOHDANCE D'HEUMITE KT DE STIEl.T.TES.

On |jeiiL distribuer les points a,, a;, . . -, (ï„, - . - sur une ellipse, lin triangle, etc., et l'on a alors une fonction qui n'existe qu'y l'intérieur (ou l'extérieur) d'une ellipse, d'un triangle.

Mes meilleurs souhaits pour le nouvel an, votre très respectueux et dévoue.