HERMITE A STIELTJES

Paris, 17 novembre 188a.

Mon SIED 11 ,

Te n'avais pas été renseigné d'une manière suffisamment complète lorsque j'ai eu l'honneur de vous écrire au sujet du point de V Algèbre de M. Laurent, qui se rapporte aux recherches dont vous avez eu la bonté de me donner communication. Ayant maintenant cette Algèbre sous les jeux, j'extrais des Exercices et Noies qui font suite au Chapitre VII, à la page aaa, ces énoncés que je transcris textuellement.

'16. Démontrer que, si f{x) s'annule pour x = a, b, . . • , l, les quantités a, b, . ■ . , l étant an nombre de n, on a

X désignant une quantité comprise entre la plus grande et ia plus petite des quantités «, b, . , ., L 17. Si l'on pose

COBRKSPONn;

X étant compris entre la plus grande et la plus petite des quantités x, a,, «2, . . ., a„ (Ampère). (On s'appuiera sur l'exerciee précédent.)

J'ignorais absolument le résultat qui est attribué à Ampère, et je regrette que M, Laurent n'ait point indiqué dans quel Mémoire on pourrait en lire la démonstration (*); Autant que je piiis le présumer, c'est sans doute dans le Journal de V Ecole Polytechnique qu'on aurait chance de le trouver.

Je ne sais, Monsieur, si, sous différentes latitudes, à Lejde comme à Paris, ce sont les mêmes devoirs universitaires qui surchargent les pauvres géomètres et entravent leurs recherches. A la Sorbonne, nous avons maintenant une session d'examens de baccalauréat, et j'ai le regret de passer bien du temps à lire des compositions et à interroger sur l'Arithmétique, la Géométrie élémentaire, etc. Je revois cependant les épreuves d'un second tirage lithographie de mon cours de cette année, dont la rédaction a été faîte par un de mes élèves, et qui a pour objet les intégrales prises entre les limites imaginaires, puis quelques points de l'étude des fonctions en général, et des fonctions elliptiques. Je me permets, Monsieur, devons annoncer l'envoi d'un exemplaire de ces Leçons aussitôt qu'elles seront parues, et je saisis cette occasion pour vous renouveler l'expression de ma haute estime et de mes sentiments dévoués.

{') Le Mémoire d'Ampère où se trouve la proposilioii citée parM. Laurcntest dans le Tome XVI des Annales de Gergoitne, p. flig; i8a6, et a pour titre : Essai sur un nouveau mode d'exposition des principes du calcul di^érentîel, du calcul aux différences et de l'interpolation des suites, considérées comme dérivant d'une soi

6, — STIELTJES A HERMITE.

Monsieur,

Je vous prie encore de vouloir bien faire insérer la Note cijoinie dans les Comptes rendus {').

Dès que j'avais trouvé la formule que je vous ai communiquée dans ma première lettre, je soupçonnais qu'il devait exister une généralisation, que je suis heureux d'avoir obtenue maiulenant, après bien d'inutiles efforts.

Vous savez que M. Tisserand avait originairement à développer cos/iY, et c'est seulement plus tard qu'il a reconnu qu'il fallait

chercher le développement de ; —■ Ma formule générale

montre qu'on peut, en effet, développer cos/iy d'une manière analogue, mais la série procède alors suivant les P^'' (o, x) qui se réduisent aux fonctions (i — x^) -3— (X,-i ).

Je suis bien aise d'en être quitte, maintenant, avec cette formule de M. Tisserand, et je veux laisser reposer quelque temps d'autres recherches qui se rattachent encore à cette question.

Je voiis remercie d'avance beaucoup du précieux présent que vous m'avez annoncé, et je me promets beaucoup de fruit de l'étude de votre Cours, à laquelle je veux consacrer les instants que mes autres devoirs me laissent. Je suis astronome adjoint à l'Observatoire ici : jusqu'ici je pris part aux observations, mais l'année suivante je ne m'occuperai qu'aux calcids de réductions qui sont beaucoup en arrière. Outre cela j'ai encore à calculer des ■observations astronomiques et météorologiques qu'un vojageur hollandais, M. Rjckevorsel, a faites et fait encore dans le Brésil. Maintenant vous pourrez vous bien imaginer que je n'ai pas beaucoup de loisir pour mes études favorites.

J'ai beaucoup de regret, Monsieur, de n'avoir pas eu à ma disposition \' Algèbre de M. Laurent, ce qui vous aurait épargné la

8 CORBKSPONUAHCE D BESMITK ET DE SIIELTJES.

peine de copier pour moi le passage dans voire dernière lettre. Je n'ai pas encore cherché dans le Journal de l'Ecole Polytechnique pour la pièce d'Ampère.

Veuillez bien accepter, Monsieur, l'expression de la reconnaissance que vos bontés m'inspirent, et de mon plus profond respect.