SriELTJES A HERMITE

MoKSlEUR,

Vous avez poussé vraiment trop loin voire bonté en m'envojanL le fascicule des Malhematische Annaleii qui coniient l'article de M. MarkofT, et, en vous le renvoyant, je ne saurais trop vous remercier.

J'ai vu que M. M'arkoff élablil aussi et pour la première fois, dans son article, la limitation plus étroite des racines X„=: o que je vous avais communiquée.

Mais la démonstration que j'ai développée pourlei Acta Mathematica est différente de celle de M. Markoff.

Il me semble que la fonction

où a est une constante réelle, fournit un bon exemple poui l'application du tbéorème de M. Mittag-Leffler. Je trouve

La fouclion e

Q{x) change brusquement de valeur a

ça-}- o,

si l'on développe le second membre de ( A.) suivant les puissances croissantes de w (en supposant o<;a<;i) et qu'on compare le résultat obtenu avec la formule

S— — 1. ^a-i-<f,{a)x-h'fî(a)x^^...

30(5 CORRESPOflDANCK b'hEDMITE Et DE STIELTJES.

qui sert de définition aux polynômes de BernouUi ^i (a), f-i («), . (Jordan, t. II, p. loa), on obtient

ce sont les développements des poljnomes o en séries de Fom-iciqu'on trouve dans le Tome II du Traité de Schlômilch,

On peut considérer (A) aussi sous le point de vue d'une série de Fourier, mais cela suppose x réel et ne donne pas le vrai caractère de cette formule. Mais de cette manière ces discontinuités pour a^o, a = i rentrent bien dans le type de celles qu'on rencontre à chaque instant dans la théorie des séries trigonométriques.

A côté de la formule (A) on peut mettre les suivantes qui donnent lieu à des remarques analogues :

si la constante réelle b ne se trouve pas dans l'intervalle indiqué, il faut ajouter à droite une fonction entière dont on trouve la forme immédiatement.

Mais, à vrai dire, ces quatre formules peiivent se déduire toutes de la formule (A) qu'on peut regarder comme la principale.

Mais en voilà bien assez sur un sujet élémentaire.

En vous [renouvelant, Monsieur, mes remerciements pour toutes vos bontés, vous voudrez bien me croire votre tout dévoué.

107 — IIEHMITE A STIELTJES.

Cheu MOBSiruiL Sti J'ai été bien empêché de travailler pendant ces dernières semaines el je viens bien tardivement vous dire que vos applications dn théorème de M. Mittag-Lefiler m'ont beaucoup intéressé, siirlout la première concernant la fonction -^, ^ • Les autres

. . C05è,r sine* concernant les quantités — ; . — , = -■■ sont certainement

importantes, mais Legendre les a déjà données, avec la détermination de la partie entière, dans les Exercices de calcul intégral, page 169 et 170 (5^ partie, § II). Si ce n'est pas abuser de voire complaisance, je vous serais bien reconnaissant de me donner k matière d'une leçon à la Sorbonne, en m'indiquant

l'analyse que vous appliquez au premier cas de — Depuis

longtemps, j'avais remarqué que, en considérant-^—--, il semble absolument impossible de parvenir à la détermination de la partie entière, ce qui doit faire mettre d'autant plus de prix au cas où, comme dans le vôtre, elle s'obtient facilement.

Cette année, je me propose d'insister sur la détermination des intégrales au moyen des coupures, en utilisant les exemples faciles qui se trouvent par d'autres méthodes, par exemple

marque à ce sujet : Suppos lé au-dessus de l'axe des absci

Une petite remarque à ce sujet : Supposez l'entier , ;t s un polnL situé au-dessus de l'axe des abscisses, on aur;

et, pour m = o.

landis que

:oS COllUESPONUAXCR T) HERMITE ET HE STIËI.llES.

Cela clant, j'envisage la formule de Foiirier écrite ainsi

Vous voyez, que l'on a

('"/(«)co.^

pour tout le dcmi-plau au-dessus de l'axe des abscisses. Au-dessous, 011 Lrouverait pareillement

En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes, l'i de mes senùmenU affeclueu"s. et bien dévoués.

— STIELTJES A flERUITE.

TouloiiM, 19 févrii:

Moj

Vous li-ouvcrez ci-joint l'analjse que j'ai suivie pour obtenir la

décomposition de — et je m'estîme heureux si je peux vous

être agréable de cette manière.

Comme vous verrez que je n'ai rien fait que suivre votre Douzième Leçon (p. 92 et suiv.).

Il m'avait frappé que, pour obtenir la décomposition de cota;, vous ne considérez pas directement

C'est évidemmenL aiïii de démontrer plus facilement

ce qui réussit maintenant à l'aide de la formule de M. Darboux.

Ce qui

est un peu

artificiel dans mon

analyse, c'est ci

sition

raais, s

ans cela, on

ne Lrouverait pas si

facilemenl que

lim.5„=lim3„.

et auss

i dansleciif

.a--=y ou a = 0

Du reste, j'ai peine à croire que la formule obtenue soit 1101 velle, mais peut-être n'a-l-on pas insisté sui' sou vrai caractère. Les formules

(p. 142, 143 du tome II de M. Schlomilcli) qui se troiivent, je crois, dans Euler, reviennent au fond à la même chose, mais M. Schomilcli les obtient comme application de la série de Fourier; x est la variable principale et X une constante réelle.

Mais je trouve très remarquable que Legendre, en donnani les formules pour

ait déjà songé à voir comment il fallait modifier ces formides dans le cas que h n'est plus compris entre ±1, et je dois vous bien remercier de m'avoir indiqué ce passage des Exercices.

Votre détermination des deux parties f (^) et '\{x) d'une fonc-

yGoosle

9lO CORnESPONDAKCË D EiERMITlî ET DE STFHLTJES,

tion/"(^) à l'aide de l'inlégrale

me semble très singulière. En effet, une fonction réelle /(ic) étant donnée arbitrairement entre o et 2t:, il n'est pas possible, en général, de l'étendre pour des valeurs imaginaires de la variable. Mais votre formule montre que les parties cp et t}^ existent chacune dans la moitié du plan ! C'est un résultat dont je dois chercher à me rendre compte.

Je crois me rappeler vaguement que M. Poincaré a annoncé quelque part un résultat qui doit avoir un rapport intime avec cela.

A l'occasion de cette détermination d'intégrales au moyen des coupures, permettez-moi, Monsieur, de vous signaler une petite difficulté que j'ai rencontrée dans votre Cours. Vous considérez, page 143, l'întégi'alc

H^)^J fit^z)dt et vous ii-ouves

Mais la démonstration suppose essentiellement que a et P soni finis, car, sans cela, les intégrales

.. *'■-■'-. Cr^^â- *<«■>- X" 7,.^.

page 143 n'ont pas de sens.

L'application (p. 1 44) à un cas où a ^ — co, p ^ -|-oc est donc sujette à une petite difficulté. En étudiant votre Cours, je n'avais pas fait celte remarque, mais, au moment où j'exposais cela dans mon Cours, je m'en suis aperçu et cela m'a brouillé un peu.

J'espère sincèrement que la démarche faite auprès des autorités suédoises aura le résultat désiré.

Veuillez bien agréer. Monsieur, l'assurance de mes senliments L'espectueux et dévoués.