STIELTJES A IIERMITE

Toulouse, 2E fév-ricr 1887.

MoNSIRUR,

Permet tez-moî d'ajouter quelques mots à ma lettre d'avanl-hie £n parlant d'un résultai annoncé par M. Poîncaré que je cro avoir un certain rapport avec votre intégrale

*(3-^27r)-*(a), qui ndmct pour coupure J'axe réel et

! pouvais pas me faudrait

isultei

■ une indication plus pré ■ cela notre LiWiothèt

poi fermée pendant ces jours de fête.

Mais, naturellement, je me fais un devoir de chercher le plus tAi possible l'article de M. Poincaré dès que cela me sera possible. Si mes souvenirs sont si vagues sur ce point, c'est que je ne connais cet article seulement par un extrait dans la dernière Partie du Bulletin des Sciences mathémallgues de M. Darboux (dans une des années avant 1880?) et intitulé Siif^ les coupures des intégrales, je crois. Mais je vous donnerai bientôt l'indication précise.

Respectueusement voti'e tout dévoué.

- HERMITE A STIELTJES.

Mille remerciements pour l'excellente démonstration de la formule concernant la fonction ^ ; je ne fais point comme

CORRESPONCAHCE D HERHITE ET DK S

VOUS grisfi mine à la condiûon lim-i^^o, je l'accuoillfi hinn volontiers comme condition caractéristique dn genre de concours auquel il est nécessaire de recourir, sans lui faire le reproche d'être artificielle. Permettez-moi une remarque qui m'est venue à l'esprit à propos de cette application du théorème de M. Millag- Leffler. En supposant la suite

convergente, avec les conditions

modn, < inodn5< inod«3<

j'envisage la fonction suivante

OÙ G(:r) est une ti-anscendante holomorphe, et je me propose de la mettre sous la forme analytique de ce théorème. Soit, à cet effet, s,, s-,. .... tu des constantes telles que l'expression

représente une fonction uniforme. En faisant

G(=,) = GC.) ^- '-JÏ=-°""'''°-i +. , ,- ^'ff -■■> - R.,

il est possible de déterminer l'entier v, de manière à remplir la condition Rv< ^v pour les valeurs de la variable dont le module est moindre que a„. On obtient ainsi

/<«- 2:[%Si^ -<='<-)

et, puisque la seconde somme définit ime fonction, il en est de même de la première et l'on en conclut immédiatement le résultat cherché

LETTRE IIU. 213

Peut-être ne serait-il pas trop difficile de faire une application

de ce procédé à la qTiantité -; ; il suffirait d'avoir \iue limite

supérieure de D"{e'').

Mon inadvertance de supposer les limites infinies dans l'intégrale

*(^)- f f{'+^)dC

est bien regi'ettable, et je vous sais bien gré de me l'avoir signalée. En attendantque j'aie pu suffisamment réfléchir, voici peut-êlreun m.oyen d'éviter la difficulté. Soit d'abord

je remarque que k relation subsiste si l'on prend

r' il

sous la condition que F(( H- z) soit iinie le long de la coupure. En admettant que cette fonction soit telle que la nouvelle intégrale ait un sens poar p = + a, a-- — ao, il me semble que rien ne s'oppose à ce qu'on admette, dans ce cas, la relation

M, Picard vient de me dire qu'au moyen d'un changement de variable, l'aire d'un cercle peut devenir le demi-plan, d'où résulte que de la formule de Cauchj

où l'on suppose s = e'', on peut, dans tout le demi-plan, conclure les valeurs de fix), de celles qui correspondent aux valeurs réelles Ae t^=o à t^^o.'n. Cette considération d'un changement de variable ne me satisfait pas absolument et je profiterai de la première occasion que je pourrai avoir de parler à M. Poincaré de l'extension des fonctions f (^) et 4'(^)'

2l4 CORRESPONDASCE D IlERiWlTE ET DE STIELTJES.

Je VOUS renouvelle tous mes remerciements pour voire bonté et la peine que voos avez prise de me rédiger si clairement votre méthode concernant la fonction ^.-' qwe j'ai pu ainsi iB'assimiler sans l'ombre d'un effort.

Grojez-mol toujours, mon cher monsieur et ami, votre bien sincèrement et affectueusement dévoué.