IJEmiITE A SriELTJES
GUEK MOHSIEUII,
M. Mitlag-Leffler a pris pour sujet de ses leçons à l'Université de Stockholm, le Mémoire de Riemann sur les nombres premiers qui a été l'objet des excellentes recherches dont vous avez donné les résultats dans les Comptes rendus de i885. Le théorème merveilleux que le nombre des racines de l'équation ^[t) =: o, dont la partie réelle est comprise entre les limites o et T, est
a naturellement appelé son attention et il m'écrit qu'il lui a été impossible de le démontrer, en faisant appel à mes lumières. Vous ne serez pas surpris que j'y ai répondu par le conseil de recourir aux vôtres, qu'il a suivi avec empressement, M. Mittag-Leffler se trouve cependant arrêté à un point, il ne peut voir comment vous établissez que la série
aîfi CORRESPOflDANCF, n'HERHlTE ET DE STIELTJES,
est convergente Lant que la partie réelle de s surpasse - , et c'est en son nom que je viens vous prier de vouloir bien lui écrire pour le tirer d'embarras. Vous lui ferez gTand bien en lui donnant les éclaircissements qu'il attend, me dit-il, avec impatience.
Permettez-moi une remarque clcmentairc et pédagogique sur les facteurs primaires à laquelle m'a fait penser le passage de l'exprès-
a celle-ci
On y parvient immédiatement, au moyen de l'équation
qui donne cosx= - — ^ — i mais on peut désirer d'j parvenir en changeant x en — \-x. Considérez plus généralcmeuL la formule
Fw=,n('-£)«'--.
oii les polynômes P,i(^) sont de degré quelconque. En changeante en X -\-^, l'identité
permet d'abord d'écrire
on obtient ensuite, en divisant membre à membre avec l'expression
que je vais appliquer au cas de sina;. On tro
)'^\(rd'
qui ne donne point pour 5= - la même formule que tout à l'heure. La réponse à celte difficulté est dans l'expression plus générale que voici, où a désigne une constante quelconque, à savoir
ti)-
-ni
^ij
Faites, en effet, en particulier a^ — ~. avec ^ = y et vous avez bien le résultat cherché. Enfin isolez le facteur qui correspond à II = o, vous avez la quantilé
formule.
Et tels
nie pour a
/res fruits de mes leçons.
t les pai
En vous renouvelant, mon cher monsi le mon amitié bien dévotiée.
f Stielljes, l'assurance
- STIELTJES A HEHMITE.
J'avais déjà reçu une lettre de M. Mittag-Leffler concernant cette proposition du nombre des racines de l'équation \{t) = o, et je lui ai déjà répondu de mon mieux. Je crois que j'ai réussi à retrouver à peu près ia méthode que Rlcmann a suivie, en calculant l'intégrale
fd\ogi{x).
Votre lettre me rappelle que j'ai voulu appliquer dans mes leçons la formule de M. Weierstrass à la fonction e^~ G. Pour
228 COnSESPONDANCR D IIEKHITE KT DK STIELTJES.
plus de simpUcUé, je meLs la constante C sous la forjne i j'obtiens f à J'aide de la décomposition de ^^ =: ~ j
Pour « ^ o, il y a un léger changement de forme analytique et l'on a une formule qui ne diffère pas essenlieliement de la formule qui donne la décomposition de sîn^.
Si vous savez que je suis dans les examens pour le baccalauréat, vous voudrez bien excuser, Monsieur, cette letlrc écrite un peu précipitamment.
Voti-e respectueusement dévoué.
- STIELTJES A HERMITE.
Mon SIEUR,
J'espère que vous n'aurez pas expliqué trop à mon désavantage le long silence que j'ai gardé après votre lettre si pleine de bonté et pour laquelle je dois vous remercier encore de tout mon cœiir. Mais nous avons été si abattus par le coup cruel qui nous a fait perdre notre aîné, après une semaine de cette terrible maladie (diphtérie), que je n'étais guère capable de parler de notre Science. Vous savez ce que Lagrange disait de la nécessité de ne jamais cesser de ti-availler, d'être toujours sur la brèche pour ne pas laisser s'endormir l'esprit et le tenir en haleine et je sens que ce n'est que trop vrai.
Veuillez donc m'cxcuser cette fois si j'ose vous parler d'une
LETTltE 120. 339
question que je n'ai pas encore approfondie, mais à laquelle je pense depuis quelque temps.
Soient
X = ai^x^-^ iaix-'-f- fi«g.ï'-i-. , .-t- «4,
je pose d'abord cette question. Dans quels cas est-il possible d'établir la relation
à i'ajde d'une substitiition linéaire (a) p-hqtr + rr + sxy = ':,?
La réponse est immédiate : il faut et il suffit l'égalité des invariants
/ S =«„«,. — 4a, ra,+ 3a^ = 6„ôi -461 ^J3+36^
( Je fais abstraction des cas particuliers où X = o, Y=: o auraient des racines multiples.)
Ces conditions (3) étant supposées satisfaites, je me propose d'approfondir, au point de vue algébrique, la détermination des
Soi
1K3, xi„
les racines de X^^o, Y^o. Leurs rapports anbarmoniqnes sont égaux et si l'on suppose, par exemple,
(37i,rci,3r3, a:j) = rapp. anharm.,
alors les substitutions (a) font correspondre
Xi, Xi, «3, xi. à yi, yi, ys, y^,
ou à yu yu yi, yi.
23o CORRESPONDANCE D HEBHITE ET DE STIELTJES.
Ainsi, il y a toujours quatre substitiUions de la forme (2) el le problème doit dépendre d'une équation du quatrième dcgi'é.
Il est vrai qu'on peut écrire directement ces substitutions si l'on connaît x,, x-i, ..., Xt, y,, ys, ■■-, Xs, mais cela exige la solution des deux équations
Il est bien vrai que, à cause de l'égalité des invariants, cela ne doit pas compter pour la solution de deux équations indépendantes du quatrième degré, mais toujours cela exige un peu plus (le calcul de deux racines carrées) que la solution d'une seule équation du quatrième degré. Or, la vi-aie solution du problème doit dépendre d'une seule équation du quatrième degré que je me suis proposé d'établir.
Dans un cas particulier, la solution est facile, et je veux l'indiquer parce que cela montre aussi comment j'espère parvenir au but dans le cas général.
Supposons
alors il est clair qu'une des substitutions demandées est
la détermination des trois autres doit dépendre d'une équation cubiqiie .
Je considère l'intégrale générale de l'équation différentielle (1) que j'emprunte au Traité de M, Cajlej-Brioschl Sur les fonctions elliptiques, page 3i8,
a -i- ,1,3;-^- ga;5-t- 2^(h + 2ba7 -H fa;') -t-^Hg ■+- 3fœ -H ca^=) = o. Je conserve les notations de M. Cajley qui a pris X = a -h bar -+- ex" + dcc'+ e:e^ (p. 3i8), Y = a-h 6/ -H cy^-h dj^-i- ey^,
les coefficients a, b, c, f, g, h sont des polynômes du second degré en C, la constante arbitraire, el si l'on écrit l'équation sous la forme
b: — AC =ex,
# étant du troisième degtc en C. Or, si l'on détermine maintenant G par la condition
on s'aperçoit aisément que l'intégrale générale peut s'écrire
dont:
Ce sont les trois substitutions linéaires qu'il fallait obtenir et qui dépendent de l'équation cubique
r directement en
Mais il me reste à établir l'équation du qiiatricme degré qui doit se présenter dans le cas général. Pour le moment, j'entrevois une méthode qui doit me la faire connaîtrej mais elle exigera d'effrayants calculs; avant de les entreprendre, je veux chercher s'il n'y a pas un moyen plus facile d'y an-iver. J'ai supposé que le problème n'avait pas encore été traité sous ce point de vue, peutêtre pourriez-vous me dire si cela est.
Respectueusement votre tout dévoué.
- STIELTJES A HERMITE .
Toulouse, i3 Jiii
MoMSIEl
J'espère que vous me pardonnerez si je continue à parler du problème que j'ai mentionné dans ma lettre précédente. Posant
Y = b^y'■-\-!^h^y^ + ...■^- bt,
idl COBBESPONOANCE D BERMITE ET DE STIELTJES,
OÙ les ai, bf vëriiienl îes deux relations
S =a„a4— 4nia,-i-3a| = é„6, — 4/^,63 + 3 6|,
T = (ïi as û:, = 61 b^ b-i ■ I <i, n, «4 I i 6j is 6t I
Il s'agit, de la détermination des c[iiatre intégrales particulières de la forme
(i) p + qw-\-ry + sxy = o
de l'équation difl'ércnlielle (2) X ~ 'Y '
Je viens d'abord d'obtenir l'écjuation du L|uaLrième degré dont dépend la solution, mais elle sérail trop longue à écrire, aussi n'ai-je pas fait le calcul de certaines vérifications. Mais voici un autre résultat de mes recherches qui pourra vous intéresser.
Soit
le Hessien de S ; de ménic
le Hessien de Y.
Alors vous as'ez donné ce résultat remarquable que, en posant
de même, en posant
II est clair par là que la relation
st une intégrale parliculièro de ( Or, je trouve maintenanL que
égal au produit de qui
et, en égalant à zéro ces quatre expressions, on a précisément les intégrales particulières cherchées de l'équation différentielle.
Il est facile de vérifier ce résultat dans le cas «j^ bi, l'un des facteurs de XHj- — YH^ est précisément x — y. Mais je n'ai pas encore effecUié complètement les calculs prolixes, nécessaires pour la vérification dans le cas général.
Veuillez bien agi-éer, Monsieur, l'expression de la plus sincère reconnaissance de votre dévoué et respectueux serviteur. .
P. S. — J'espère pouvoir bientôt publier dans les Annales de notre Faculté ces recherches sur l'équation différentielle
12S. — STTELTJES A HERMITE.
{!u rue de Kleurançe-Monplaisiv) Toulouse, i5 jui
Voulez-vous bien me permettre de revenir encore s blême des substitutions linéaires
[') Note des éditeurs. — Le Mémoire de Stieltjes sur co sujet est inséré dans le Tome H des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, p. K. i, iS88 et a pour titre ,■ Sur la transformation linéaire de la différentielle ellip-
234 CORRESPONDANCE d'HEBMITE ET DE STIELTJES,
qui donnent
je vous promets expressément que ce sera la dernière fois.
Vous savez que j'ai considéré d'abord le cas a,-=&,, alors p, (j, r, s s'expriment rationnellement au moyen de (/, racine de
J'ai tâché alors de traiter le cas général de la même manière en établissant d'abord l'intégrale générale de l'équation différentielle sous la forme
-h (7 4-2-f'cC-!-f''ic3)72=:0,
OÙ les a, ^, Y, . . . sont des polynômes du second degré en C (la constante arbitraire).
Mais il m'a coulé beauconp de peine pour trouver cette formule (i) et elle esl très compliquée. Mais, une fois cette formule obtenue, la solution du problème n'offre plus de difficulté el l'on trouve directement l'équation du quatrième degré en C. Si C satisfait à cette équation, le premier membre de (i) esl un carré parfait et l'on obtient ainsi les substitutions linéaires pi-h qia: -h i-iX -^- sia:y = (, (i = i , -2, 3, 4).
Mais le théorème que je vous ai communiqué,
YHj:— XHj-= coasl. Il(p/-h qtx -i- ny -^ Si^y),
permet de résoudre la question d'une manière beaucoup plus facile.
En effet, il est clair qu'on n'a qu'à donner à y une valeur particulière (par exemple o ou ce) et à résoudre alors une équation du quatrième degré
alla— ^X = o.
Il y a même avantage à considérer directement l'équation YH^.-XHj.= o, en y regardant y comme constant. Or il est bien connu qu on
peut faire dëpendi'c la solution de cette équation encore de l'équation résolvante
En poursuivant cette vole, je trouve que la détermination do ces stibsllUitions linéaires s'obtient aisément à l'aide de ces fonctions Ji, . . ,
que vous avez rencontrées dans votre premier Mémoire Sur (a théorie des fondions homogènes à deux indéterminées [Journai de Crelle, t. S2, p. i5). Il faut considérer en même temps celles qui appartiennent à X el à Y.
En somme, on reconnaît que, pour avoir les /)/, (ji, . .., il faut calculer d'abord les racines fi,, «2, «3 de l'équation en u. Ensuite il Y a à calculer les r
mais à cause de
inim^mi= ■!: (a„^ ^3 - 3aoa, «;+ 20?) (6? 63— 3i„&i &s -H aè? ),
on a à calculer réellement seulement deux racines can-ées.
Les Pi, qi, . . ., s'expriment alors rationnellement.
Pour avoir séparément les racines de X =; o et de \'^o, il faudrait calculer
v'èf — 60^! — 60 «I, l/è^ — b^bi — 6û U3,
ce qui constitue, en réalité, quatre racines carrées à calcider. En somme, je me suis donné bien du mal poiu- éviter le .calcul de deux racines carrées; on pourra penser que c'est bien peu de cbose.
On voit aussi maintenant comment il arrive que, dans le cas «,:= b,; il suffit de connafU'e m,, iti, «3.
î— aow,,
Va
s— a„Ks,
Va
Je croi
is qiie ces
résultais éclairciront aussi la n
a turc de
l'équation
en C donl j
j'ai parlé plus haut. En effet, si je .
:onsidère
l'éqiiatior
, cTi D dont !
ns racines sont
11— nis4-ffîa,
jl me semble qu'il doit exister une relation simple entre C et D, et je ne pense pas me tromper en soupçonnant que cette relation
en- sorte qu'on pourrait même avoir simplement C := D en cliangeant convenablement la constante arbitraire C qui figiire dans la formule (i).
Quant au ibéorèmc
vous aurez remarqué sans drfute que, à cause des propriétés invariantes, il suffit de l'établir dans le cas
et il vient alors
Mais cette remarque si simple que le problème proposé revient à décomposer YH^; — XHj- ne s'est pas présentée tout d'abord.
Veuillex bien me croire, Monsieur, votre respectueusement dévoué.
