UERMITE A STIELTJES

C'est à moi de m'excuser du retard que j'ai mis à répondre à vos deux dernières letU'es et surtout à vous exprimer combien je suis

LETTiiE 123. aS^

heureux que vous ayez réussi à sui'monler votre chagrin ea vou^ remettant au travail. La cfuestion que vous avez traitée est d'un grand intérêt et ce me serait un plaisir de m'y engager avec vous, ainsi que vous m'avez vu faire autrefois, quand vous vous en preniez à l'Ai'ithmé tique, si je n'étais à bout de mes forces et ayant quelque peine à cause de la fatigue que j'éprouve à en finir avec mes leçons à la Faculté. Au moins permettez- moi, puisque vous vous proposez de publier vos recherches dans les Annales de Toulouse, d'appeler votre attention sur un excellent travail de M. Halphen sur le sujet que vous avez traité, qui a paru à l'étranger dans les Rendiconti du Cercle matkimalique de l' Université de Palerme. Je vous envoie le numéro de ce Recueil que vous ne recevez sans doute pas, pensant qu'il devra vous intéresser. Il me semble qu'il j a quelque analogie entre ce que fait M. Halphen et votre méthode extrêmement ingénieuse de conclure une solution particulière de l'équation -=r~ =^ -^ de l'égalité ■— := -^- Se crois bien aussi avoir rencontré autrefois comme conséquence de la relation qui lie une forme biquadratique avec ses invariants du sixième et du quatrième ordre une substitution qui ramène l'intégi-ale elliptique générale à la forme que vous considérez

/4mS— Sh — T

et peut-êti-e y aurait-il utilité à la rapprocher de celle dont vous faites usage « = ^* Je la rechercherai dans mes anciens articles sur la théorie des formes du Journal de Crelle, mais elle m'échappe en ce moment; permettez-moi, avant que je la retrouve et si paresseux que je sois, de vous indiquer une conséquence arithmétique de l'équation

H,(o) = sî/ï"AP^ où l'on a

A = (r-./)(i -?■■)■■■ <^l V=={^^-cf){^^q■■)....

Si l'on désigne par /(h) le nombre des solutions en nombres entiers et positifs, sans exclure zéro, de l'équation

9,38 conuESPOSDANCE d'htîrmitiî KT ]

où j<! suppose

je trouve (l'abord que l'on a

Cela étant, la fonction numérique /(r) s'obtient de proche en proclie, par cette formule de récurrence

Le terme £ est égal à l'unité ou à Kcro, suivant que n est ou n'est

pas de la forme •

La même équation donne k relation suivanle, à l'égard de la fonction plus compliquée

011 le signe ^ se rapporte à tous les systèmes x^, x^, . .., JC., de solutions de la même équation (i). On a alors

au lieu de

/(") =2^- ')'''[/(" - 3'-^ + '■) +/(« - 3/-=- /■)] + . (/■ = :, a, 3,...), la sommation s'étcndant à toutes les valeurs de r telles que l'on ait, soit

L'équation

6(0) = ([-ç = )(i-çV)...[(i- ?)(:-? = )(< -■?»)...] = donne lieu à des conséquences analogues sur d'autres fonctions qui

LETTRE 123. a39

se rapportent à l'équation x, + 2x2-^^X3-^. ..+ nx„^ «, mais ce ne sont là que des remarques bien faciles et qui ne me semblent avoir que peu d'intérêt.

Dans le même genre, et sans faire plus d'efforts, j'ai complété un article de M. Hejmann (') dans le dernier cahier de Crelle, en présentant comme il suit la réduction à la forme P + (Q de l'intégrale elliptique

OÙ X est un polynôme du deuxième ou du troisième degré à coefficients réels. Le module <ij[x — ay+b^ se transforme en une expression rationnelle, en posant

dx Jh {t-^ i)dt

J^:r-^zzib "Va t^/l '

Désignant par — ou — - suivant que X est du deuxième ou du troisième degré, la transformée de X par ia substitution considérée, j 'obtiens

C'est le résultat bien connu de Jacobi qiii se trouve ainsi fort simplement.

En vous priant, mon cher ami, de voidoir bien faire parvenir à M. Eaillaud mes remercîments pour l'envoi qu'il m'a fait d'excellents Mémoires, où j'ai vu avec grand plaisir le concours analytique que lui a prêté M. Tannery, et en vous renoiivelant l'expression de mes sentiments de bien sincère affection.

(') Note des éditeurs.— L'anicle de M. Heyman Journal de Crelle, p. Si-SB [i883).

coubesponbanck d hkhmite et de stieltjes.