STIELTJES A lŒHMITE

Monsieur,

Je suis extrêmement heureux d'avoir reçu votre lettre qui me montre de nouveau yotre amitié qui m'est si précieuse. Mais, monsieur, il y a dans votre letti-e un passage qui m'a vivement ému et que je ne peux pas laisser sans réponse. Vous dites : « Je crois bien aussi avoir rencontré autrefois comme conséquence de la relation qui lie une forme biquadra tique avec ses covariants du sixième et du quatrième ordre une substitution qui ramène l'intégrale elliptique générale à la forme que vous considérez

r du

et peut-être j a faites usagé

celle dont vous

Or, Monsieur, je suis sûr d'avoir dli. expressément dans ma

lettre qiie j'ai emprunté à vous cette substitution « := —• Mais,

Monsieur, c'est un résultat classique, aujourd'hui, comme du reste tout ce qui se trouve dans ces heaux Mémoires du Tome ^2 du Journal de Crelle. Et je crois que si mon travail a quelque

: de

1 éclair

i peu J

intérêt ce sera surtout à ca

nature de cette substitution w = -^ •

Je me propose de faire un exposé un peu complet de mes recherches et comme nos Annales sont aussi destinées à des lecteurs qui ne peuvent pas se procurer facilement tout ce qui se publie en Fi-ance et à l'étranger, je donnerai quelques développements, sans crainte de répéter des choses qui sont, il est vrai, bien connues, mais quj me sont nécessaires.

Le seul travail sur lequel j'aurai à m'appuyer seront vos Mémoires sur les fonctions homogènes à deux indéterminées, La raison en est que je ne peux m'empêcher de regretter que si cer-

LETTRE 124. a/jl

tains résuUats de oes Mémoires classiques sont répandus maintenant dans les livres élémentaires, comme celui de M. Salmon, on a en général peu reproduit vos démonstrations et enfin les idées qui s'y trouvent. Ainsi, par exemple, la démonstration de la relation

est souvent donnée simplement par une vérification opérée sur la forme canonique de/". Je trouve aussi dans vos Mémoires, déjà, la notion des invariants et des covariants irrationnels, comme, par exemple, les racines 0 de l'équation résolvante

Dans ces dernières années, un jeune géomètre allemand, M, Hilbert, de Konigsberg, a repris celte idée des invariants cl covariants irrationnels, et il y a consacré un Mémoire étendu dans le Tome XXVIII des Math. Annalen. Je pense que M. Hilbert ne vous est pas inconnu; j'ai aussi fait sa connaissance à Paris en 1886.

Naturellement, comme professeur, j'ai dû étudier aussi un peu les travaux d'Algèbre de Clebsch, Gordan et de leurs disciples, pour en avoir au moins une idée sommaire. Mais s'il est incontestable que, par exemple, le théorème de Gordan est tout à fait fondamental, je ne peux m'empêcher de croire que ces théories-là n'ont pas encore reçu leur forme définitive, — il me semble que le formalisme (oppressant pour moi) a bien besoin d'être vivifié par des idées.

Vous m'annoncez l'envoi d'un fascicule des Rendiconti de Palerme et je dois vous en bien remercier, mais probablement pour m'engager à y souscrire, on m'a envoyé justement deux fascicules de ce Recueil où l'on ti'ouve l'article de M. Halphen. C'est même un peu par cet article que j'ai été conduit à me poser la question d'une autre manière.

Il est évident par là que mon travail n'est pas la reproduction de celui de M. Halphen. On pourrait le considérer comme une continuation et une généralisation de ce dernier.

Votre très dévoué et respectueux.

CORBESPOKDASCË D'IIËIIMITE ET DE STIELTJES.

- HERMITE A STIELTJES.

Mon cher ami,

Je mérite gi'andement les reproches que vous me faites; je me les suis adressés moi-même après vous avoir écrit lorsque peu à peu se sont réveillés les souvenirs de mes recherches d'Algèbre qui remontent à plus de trente ans. Mais vos reproches ont si peu d'amertume que je ne m'engage nullement à ne pas bien d'autres fois les encourir, en écrivant rapidement, sans beaucoup réfléchir. Lorsque j'ai abandonné mes études sur les formes pour m'occuper de la transformation des fonctions abéUennes du premier ordre, j'avais entrevu quelque possibilité d'étendre aux formes à trois indéterminées, la méUiode qui m'avait conduit aux lois de réciprocité pour les formes binaires. C'est dans la dernière ou l'avantdernière année du Journal de Cambridge et Dublin que j'ai exposé mon procédé et dans l'espérance que vous ferez ce que je n'ai pu faire, que vous entrerez en pleine et complète possession de ce que j'ai seulement enti-evu de loin, je viens vous prier de jeter les yeux sur cet ancien travail, le plus étendu de ceux que j'ai publiés sur la théorie algébrique des formes. Vous connaissez certainement et vous admirez comme moi le Mémoire de M. Salmon sur les formes cubiques à 4 indéterminées. Vous aurez remarqué le complet parallélisme entre les covariants et les contravariants de la forme considérée qui m'a extrêmement frappé ; j'en tirais l'induction qu'il doit y avoir une liaison analytique qui associe nécessairement à tout covariant un contravariant de même ordre, et en me bornant aux formes ternaires, c'était cette liaison que je voulais d'abord découvrir. Il me semblait qu'en étendant aux formes ternaires les transformations en symboles dont j'avais fait usage pour les formes binaires, le lien cherché apparaîtrait, de sorte qu'à la fois on aurait une loi spéciale de réciprocité interne entre les covariants et les contra variants et la généralisation de la loi de réciprocité que j'ai obtenue entre les covariants et les invariants des formes binaires. Vous me dédommageriez, mon cher ami, et vous me feriez oubber le regret de n'avoir point persévéré dans

LETCRiî 123. 243

cette voie de recherches, si vous vouliez bien avec votre don d'inveEtion, ingenium divino dono aureuni, vous y engager et la suivre.

En attendant que vous vous décidiez à entreprendre la conqTiêie des lois de réciprocité interne et externe, je vous fais mes compliments, parmi bien, des choses intéressantes que vous m'avez communiquées, en particulier pour l'équation

YH,c— XHj.= Cnip-^qx + xy-^sxy)

qui me semble extrêmemenl originale, El je ne saurais trop vous encourager à écrire pour \^s Annales de Toulouse un Mémoire où la concision ne nuise pas à la clarté et qui n'exige point pour être compris cette attention fatigante qu'exigent les notations par trop condensées de Clebsch, dont l'usage est malheureusement si général. Je ne renonce pas à peut-être ajouter qiielques remarques à vos recherches, ayant fait J'année dernière pendant les vacances quelques petites choses dans un domaine voisin. Mais, en ce moment, il me faut envoyer un article à V American Journal, et je ne suis occupé que des développements en série, suivant les puissances de q, des quantités i/ïc, \/k' et s/kfd. A l'égard de cette dernière, j'ai remarqué qu'ayant

ou bien

on en conclut l'expression

où f{n.) est le nombre des solutions de l'équation dont je vous ai parlé

c,+ 3tfi+5<T3 + ...+ (2v-i)Cv=n.

On a pareillement oCi /, (/i) est le nombre des solutions de

24^ CORRESPONDANCE d'ueHMITE El Dli STIELTJES.

Vous savez que ce dernier développement joue un grand rôle dans le beau Mémoire de Sonhke ( ' ) sur les équations modulaires que je recommande à votre souvenir. De vous je dirai lu magnus eris ApoUo, lorsque vous aui-ez pénétré le mécanisme caché, mystérieux de la disparition des coupures, dans leur premier membre, et j'ai confiance que vous réaliserez mon espoir.

Avec tous mes vœux, mon cher ami, pour le succès de vos efforts et de vos travaux, et en vous renouvelant l'assurance de ma bien sincère et cordiale alFection.

P. S. — Ne vous pressez pas de me renvoyer le rendlconto que j'ai eu tort de vous adresser, je n'en ai aucunement besoin maintenant.

iS6. — H ERMITE A STIELTJES.