STIELTJES A HEBMITE

MOHSIEUII,

- STIELTJES A HERMITE.

Toulouse, m octobio 1888.

MONSCE

Vous devez avoir quitté Barèges depuis quelque temps et j'espère que la cure vous aura fait tout le bien possible, Mainte-

( ') Note des éditeurs. — Les travaux de Sonlike sur les équations modulaires sont contenus dans deux Mémoiies publiés dans le Journal de Crelle, Tome 12, page 178 et Tome 16, pages 97-130.

LKTTBE 128.

nant, je vous prie sincèrement de ne pas négliger les eim, des médecins et de ne pas faire attention à ce qui suit si le vaii vous est encore défendu.

Vous connaissez la formule de M. Pryni

est une fonction holomorphe dans tout ic pian. Voiei analogue que j'ai obtenue

On reconnaît, d'après le théorème de Mittag-Leffler, que ^(rt) est une fonction holomorphe dans tout le plan.

Mais tandis que dans le cas de la fonction Q(o) de M. Prjm ce caractère résulte aussi directement de l'expression / x"~^ e^^ dx,

tes choses se passent un peu moins simplement dans le cas actuel. Voici l'expression de (^{a)

I valeur princip, d'après Caiichj = liin / -i- I j .

Cette formule (^) n'est valable que lorsque partie icelle de a <-i-i-

Cepcndant il n'est pas difficile de reconnaître, d'après la formule^ (P) elle-même, que t,'(«) est holomorphe dans tout le plan. En effet, à l'aide de l'identité

) HEnniITE ET DE BT1ELTJES.

Cette relation perraetunt de déduire ç(«) de (f(a — i) peut servir k continuer la fonction Çj{a) dans tout le plan.

La formule (a) n'est qn'un cas particulier de la suivante où t est réel et positif

(S) r(«)cos^a=~ + --^+— ^

J'indique la démonstration. Soit 'o(t) le second menilire de (S), alors

en sorte que f(t). est indépendant de (. Alors, en supposant o ■< a -< I , on obtient, en posant i = o,

?(') = ¥(o) — r(^/^^ ™'e"'' princip.y -^^ dx. Or on a

valeur priiicip. / ■ ife = — ît colira.

C'est ce qui résulte facilement des formules que vous donnez dans votre Cours; on trouve aussi cette formule dans Briot et Bouquet, Fonctions elliptiques, page i45. Il en résulte

f<'> = î<<'> = Fp?S='"<''>°°"'"' =•»■■■■'■ Naturellement, il faut justifier la dîEFérentiation sous le signe / et aussi montrer qu'on peut faire légitimement t-=o. Aussi, on étatlit, de cette façon, la formule d'abord seulement pour

mais ensuite on voit qu'elle ne peut cesser de rester vraie sans celte condition,

( ') Note des éditeurs. — La aotation P.R.a signifie partie réelle de a.

Je vous renoiivelle, Monsieur, mes vœux pour le rétablissement de votre santé dont j'espère recevoir de meilleures nouvelles que la dernière fois. C'est là, je vous l'avouerai, un peu la raison de celte lettre et vous pouvez, considérer la fonction F simplement comme un prétexte de vous écrire une lettre peut-être déjà trop longue.

Veuillez bien me croire votre très dévoué.