HERMITE A STIELTJES

Mon cher ami, Je viens vous remercier et vous dire que votre théorème

m'a fait grand plaisir; permettez -moi, en même temps, de vous prier de publier votre lettre dans le Bulletin de M. Darboux afin que d'autres que moi en profitent. Les valeurs principales des intégrales définies dont Cauchy, qui en a donné le premier la notion, a été seul jusqu'ici à employer, méritent, comme vous le faites bien voir, la plus grande attention, et je pense que, à cet égard tout particulièrement, la publication de votre lettre rendrait grand service.

Permettez-moi de rapprocher votre expression

d'un résultat que m'a communiqué M. Lerch. Soit

ta fonction liolomorplie de M. Prym, on a Ces fonctions 5(«), Q(«) sont d'une nature très mystérieuse.

2^8 corbespomdarce-d'hermite et de STIELTJëS.

bien qu'bolomorphes, et, quelque mal que je me sois donné pour y parvenir, je n'ai pas, à mon gré, réussi à trouver une expression suffisamment explicite pour Q{«)- Il y a quelques mois, en ayant sous les yeux le simple développement en série

l'idée m'est venue de chercher, en appliquant la méthode de Laplace, la valeur asymptotique de ;„. Voici ce que j'ai trouvé; écrivant d'abord, au moyen d'une intégration par parties,

ri^X"

Je désigne par x = ^ Va j'obtiens

; de l'équation xlogx=/i eL

M. Bourguet a eu la bonté d'appliquer cette formule en supposant n^i8, afin de voir l'approximation. On trouve alors

s Tables donne

ce qui est un accord plus grand que je ne pouvais l'espérer. Mais mou expression avec la quantité S ne fait que me confirmer dans mon sentiment de la nature analytique profondément cachée et abstruse de la transcendante. Comme ^ est évidemment moindre que n, on reconnaît que la limite pour n infini de

est inférieure à l'unité, ce qui est d'un mince intérêt.

J'espère que vous ne vous refuserez pas à la publication de votre lettre dans le Bulletin de M, Darboux, à qui je la donnerai.

à moins d'avis contraire de voti'e part. Pensex-voiis aux coupures des équations modulaires? Permet lez-moi d'espérer que vous ne les oubliez pas, et veuillez agréer, mon cher ami, la nouvelle assurance de ma bien sincère et cordiale affection.

J'ai écrit avant les vacances à M. Bosscha qui avait eu la bonté de me demander si j'avais reçu le premier volume des CE livres de Christian Huygens, pour l'informer qu'il ne m'était pas parvenu. Pourriez- vous, si vous en aviez l'occasion, faire savoir que la maison de librairie qui doit me le remettre ne l'a point encore fait.