STŒLTJES A HERMITE

Toulouse, iS ocioLirt 18S8.

Cher MoHSiEt r ,

Je vous remercie bien vivement de votre lettre qui me fait savoir que vous vous portez bien, et quoi que vous voudriez dire, je suis certain que vous continuerez encore à exercer une grande influence sur les progrès des Mathématiques. Ce que j'ai surtout appris de vous, c'est cette conviction que la véritable nature des formules que nous employons nous échappe encore bien souvent et que rien n'est plus digne d'intérêt que de réfléchir sur leur véritable nature. Et que j'ai encore beaucoup à apprendre sous ce ra]iport; ma formule

en fait foi. En efl'el, je la connaissais depuis a ou 3 ans, mais je l'écrivais ainsi

Je l'avais obtenue en cherchant des formules qui permettent d'évaluer, avec une grande approximation, par une série semiconvergente ia transcendante

dans le cas où ( est très grand. C'est. un travail que j'ai eu même

a5o COnBESPONDANGE d'hERNITE ET DE STIELTJES.

l'inLenLion un moment d'insérer dans ma thèse. Mais c'est seulemenL dernièrement, lorsque ce travail incomplet m'est passé sous les yeux, que j'ai reconnu la nature véritable du résultat que j'avais obtenu. Il y a, Monsieur, un léger inconvénient à insérer ma lettre dans le Bulletin; c'est qu'il doit y paraître prochainement un autre article de moi, qui est déjà dans les niaîns de M. Darboux.

Mais j'ai repris mon travail sur / cc^"' e^ dx-^ et je pense en faire un article pour nos Annales.

Dans Farlicle du Bulletin ('), dont je viens de parler, je fais voir que l'intégrale générale de l'équation d'Euler

Votre expression approchée du coefficient c„ dans le développement Q((2)=: Sc,i(i" m'intéresse beaucoup. Vous savez que, du temps où j'étais astronome, j'ai gardé le goût des calculs numériques et des formules qui peuvent servir utilement dans la pratique. Je dois étudier un peu cette expression

Je ne suis point du tout étonné de l'approximation avec laquelle vous avez représenté ainsi c^ . . ., au contraire, j'incline à penser qu'on doit avoir ainsi une approximation bien plus notable encore.

J'ai vu que M. Hilbert vous a écrit une lettre (^) où il donne

(I) Noie des éditeurs. — Sur Véquatioii d'Euler (^Bulletin des Sciences mathématiques, a' série, t. XII; p. 222-227; 1888).

(') Note des éditeurs. — Journal de Liouville, 4' série, t. IV; 1888. Extrait d'une lettre de M. D. Hilbert à M. Hermite.

LEITHE 131. - aSi

une idée sommaire de ses belles recherches algébriques dans les Mathematische Annalen. Ces recherches m'in 1ère s sent beaucoup et présentent quelques points de contact avec un travail que j'ai à , peine commencé, mais dont le but final est de représenter, sous une forme élégante, les intégrales générales du système d'équations différentielles hyperellip tiques. Jl est surtout important de ■voir clairement comment les constantes arbitraires entrent dans les formules. Le résullat de Jacobi [Couvres, t. II, p. iSi^ et suiv.) laisse beaucoup à désirer sous ce point de vue. Le résultat pour l'équation d'Euler est un premier pas dans cette direction. La formule de M. Lerch

m'était bien connue, elle se trouve sous une forme légèrement différente dans le Traité de M. Schlomilch (t. II, 3= édit., p. 267)

Mais i! ne fait point de doute que M. Schlomilch n'avait point envisagé cette formule sous le même point de vue que M. Lerch.

Veuillez bien agréer, cher Monsieur, l'expression des sentiments respectueux de votre très dévoué.