ST1ELTJES A H ERMITE

Paris, i4 février ii

Mon;

En recevant ce matin une lettre conforme à celle que j'avais reçue hier, j'ai tout de suite expliqué ce fait comme vous venez de le faire, quoique je n'avais pas remarqué l'erreur dans l'adresse

de votre première lettre. Mais vous m'avez rendu un très grand service en tn'indiquant le travail déjà ancien de M. Lipsichtz <|iii m'étail inconnu el doni je dois prendre connaissance.

Je suis bien convaincu que M. Lipsichtz a. pour la première fois, étendu à des valeurs complexes, sinon la série de Stirling, du moins sa dérivée. Nous trouverez |>lus loin encore une remarque sur la formule de M. Lipsichtz.

Vous me demandez une démonstration de la formule

| V(ai) = Re®'}

B — a\o<ïn— arc ta ne a- ... — arc tarie— (i = °°)i

mais il me semble qu'elle exige à peine une démonstration spéciale, car, en considérant 1 expression

gai \ogn

T(ai) = - — : — — — (n = <x>),

. "i / ai

il suffit de se rappeler que l'argument d'un produit est égal à la somme des arguments des facteurs.

Je développe un peu ce que j'avais peut-être indiqué trop confusément dans ma lettre. D'abord, rien n'empêche d'attribuer, dans la formule de Bine t.

(i) logT(a) = (a I \osa — a -+- logi/airH — / - — • — e~a-r dx

■ij •> ^f a ■-

à la variable a une valeur imaginaire, à condition seulement que la partie réelle soit positive. [La fonction o(.v) a le même sens (pie dans votre Cours; si j'ai remplacé x par — x dans l'intégrale, c'est parce que cela me semble faciliter un peu quelques développements ci-après.] Je remarque que les expressions logT(«) et log<7 ont une détermination unique par la condition même que la variable ne doit jamais traverser l'axe desy. Mais il est permis encore, dans cette formule, de remplacer a par ai parce que : i" L'intégrale

r* a(x) . , /•" oi./-i . .

/ - — — e~alx dx — I - (cosax ~ i smax ) dx

a un sens. On s'en assure, d'après une méthode bien connue, en

changeant les intégrales en séries donl les termes sont alternativetnenl h <vt — , tandis qu'ils diminuenl indéfiniment. Et 2° Parce que

/ -' e-a<-' dx

csi réellement la limite vers laquelle tend l'expression

Cp ( x )

l±—Le-hxe-aixdx

Jf

lorsque la quantité positive b tend vers zéro. Mais, comme peutêtre la démonstration de cela vous semblera à peine nécessaire, je la rejette à la lin de cette lettre.

En remplaçant donc, maintenant, a par ai, il vient, en supposant a >■ o.

lot; Y (ai) = (ai ) ( loga ~\ ) — ai -+- log \f%r:

i r°° cpO) . .

H — / - — — -(cosax — ismaxdx), *J0 x*

d'où

(a) log R = log y/2 ^ loga H — / - — — cosaxax,

(i 0 — a loga — a / -i sm a;ra;r.

L'intégrale - / * 9 sinax dx, qui figure dans la valeur de 0, 2 .y0 . a?

converge vers zéro pour « = oc, et c'est celle qui donne la série

semi-convergente en peut obtenir cette série semi-convergente

de beaucoup de manières. Une des plus simples me semble celle qui consisté à appliquer une intégration par parties à l'intégrale

i r™ cp(.r) . . "1

- / J smax dx , en sorte que

(4) 6 = a loga — a —

> . i . aJ

mais la discussion du reste est beaucoup plus difficile que dans le cas de la formule de Stirling. De fait, on peut continuer la série jusqu'au plus petit terme et l'erreur est alors du même

ordre < | u< - ce terme; en sorte que La série est toul aussi pratique que celle de Stirling.

\ cel égard, je remarquerai que, dans la formule de M. Lipsichtz que \ ous m'avez communiquée

I' a ib i . .. I!,„.i i — i'i logi a H i/> + ... h

I ,i ■ ih +|)

le terme complémentaire devient infini pour a = o, en sorte

... . , . • • | , T'ub — n

<|u il reste douteux, «lu moins, qu on puisse calculer YT7Ï~ — 7

ou — pour de grandes valeurs de b, par une série semi-conver-

r(ib) ' '

gente.

< )i . comme je \ iens de le dire plus haut à l'égard de T(ib), cela

esl effectivement le «'as. Je crois donc que mon travail ne sera

pas inutile.

\ ous voyez par la valeur de 0 et par R = i/ — . „„'"' — -— que,

lorsque le point :■ parcourt la partie positive de l'axe des y, en s'éloignant de l'origine, le point dont l'afflxe est ri;) finit par décrire, dans le sens positif, une spirale, en se rapprochant rapidement de l'origine, la vitesse angulaire croissant aussi indéfiniment et, de là, on voit comment se comporte la fonction holo-

morphe^-

Considérons encore les intégrales <jui figurent dans les formules i 2 i el i 3 . ou plutôt celle-ci :

j e+aix ,lx

■ « (pu les réunit.

Au lieu d'intégrer le long de l'axe des x, de o vers A, il est permis d'intégrer le long de l'axe des y, de o vers B, en évitant li> pôles de »(■») par de p. 'lits demi-cercles de rayon infiniment petit z< puis d'aller «le I! vers A. par un quart de cercle.

L'intégrale, le long de BGA, s'évanouit à la limite pour n= oc, M ne reste donc que l'intégrale de <> vers B. En posant x = it. on obtient, (tour la partie rectiligne,

et l'intégration doil s'étendre de o à :>tz — e, de ■>.t. |- s à

(2n+2)TLi'

2nru

<HTl'

2 ni.

oc

; comme ty(it) est réelle, celte partie est purement

imaginaire.

Quant aux petits demi-cercles, ce sonl évidemment des moitiés de résidus, et à cause de

•1 X- J^2/ITZI X — Xll-Kl X -+- 2/lTtl /

on voit que le pôle amzi donne le terme

Ces demi-cercles donnent, par conséquent, la partie réelle de

l'intégrale et

/ -i cosax dx = y — e-îann

2 JQ x* —* -x II

= - IOg

mettant celle valeur dans (2), je retrouve la valeur

lo°R = -loe

•x ai ea7ï — e "^ >

bue j'avais conclue d'abord, en envisageant directement la valeur de T(ai) d'après la définition de Gauss.

Mais la nouvelle forme de la partie imaginaire

1 rx v(x) . . 1 r o(ît) , ,

- / i- — -smaxdx = — - / -^-— - e~at Jt

1 J x1 ■> 1 , 1 fl

1 / de o à ait — s, 2r + e à iJïï -si se prête difficilement à des développements ultérieurs en vue de

h série semi-convergente. On obtienl une forme plus utile en

écrivanl

/ , ■"'■'■ dx - > / —,

2 / x* AàJ0 *«-f-4n«ic«

a?2 | // '-jinaire peut s exprimer alors par le logarithme intégral.

r" iealx dx , . -.i • •

cl en iiaiiani / — ; — , <le la même manière. La partie îma-

J'ajoute maintenant une démonstration de ce fait que les intégrales

DU = / - — — ( i — e~bx) cosax dx, ■ \ x-

rx o(x)

Ks = I J (i — e~bx) siaaxdx

convergent réellement vers zéro en même temps que b. J'écris

.m = / = DU. i + DTL j + DU

On a

i ;),l' i < f ^r ( ■ — e~i,x ' dr <(•—«-*) r ^p

1 ÙK s i < T ~— i i - e-»* ) dx < ( i - e-** ) T ?1^ ./.r

On voit par là que DTL4 et DR/2 convergent vers zéro, car

J — -1- reste unie.

Pour faire voir rigoureusement que lim0)l3=o. j'applique le

second théorème de la moyenne

/ u(x) v{x) dx — u{a) / v(x)dx-hu(b) I v{x)dx.

Gela suppose que u(x) varie toujours dans le même sens. \l. Dini (Fundamenli, etc.. |>. 36o a étendu cette formule au cas où l'une ou l'autre des limites (ou même toutes les deux) sont

infinies. Dans notre cas, u(x) (1 — e~bj ') , il vienl

/"" o(x) 011 3= / - (1 — e~bx ) cosax dx

= (1 — e-s/>) ! -— - - cosax dx -+- I cosax dx.

Or, comme l'intégrale / -j — — cosax dx a un sens, on a

litn ; cosax «.r = o, Inn / - — — cosax dx = o,

. - xl l„ x1

donc

lim 0)1 3 = o et, finalement,

lim 31L = o.

La même démonstration s'applique à l'intégrale n. (Note. — Il paraît bien à peu près évident cpie

/' °° ce ( X ) — ( 1 — e—°x) cosax dx = 0, /T *' Vï

mais, si l'on exige une démonstration rigoureuse, je n'en vois pas de plus simple) ( ' ).

J'espère, Monsieur, que vous voudrez bien excuser la longueur de cette lettre et me conserver la bienveillante afï'ection dont vous m'avez donné tant de preuves.

Votre très reconnaissant et dévoué.

( ' j Note des éditeurs. — Le Mémoire où Slieltjes a exposé les résultats contenus dans cette lettre est inséré au Tome V de la 4* série du Journal de Liouville,

CORRESPONDANCE D MERMITE ET DE STIELTJFS.

s l U.I. TJES A //ATM// TE .

Paris, in mars i Vv1'.

Mon si i i i;.

Je viens de déposer ma Thèse au Secrétariat de la Faculté des Sciences. Comme seconde Thèse, je voudrais bien exposer la démonstration due à M. Poincaré de La possibilité d'une figuré annulaire d'une masse fluide en rotation, ("est un sujet qui m'intéresse beaucoup et j'ai encore quelques mois de temps, certainement, avant que ma Thèse ne soil imprimée.

En travaillant à ma Thèse, j'ai reconnu que la formule

donnée par M. Heine clans le Journal de Borchardt, est due a M. Hankel. élève de Riemann. et qu'une mort prématurée a enlevé à la Science. Dans un Mémoire paru dans le Journal de 1/ . Schôlmilch (t. I\. p. i. iN(>| ). il donne cette formule

I Fe-' <li.

Ce Mémoire, écrit visiblement sous l'influence îles idées de

Riemann, contient beaucoup de choses intéressantes. Le sujet

n'ayant pas un rapport direct avec les développements de ma

rhèse, je n ai pu mentionner celte remarque dans ma Thèse.

Je n'ai pu retrouver dans aucun Mémoire publié La spirale que

décrit le point -» mais d'après un passade du Mémoire Ueber

1 1 i ai ' f b

die tnzahl Prinzahlen, etc., je suis convaincu que Riemann avail déjà reconnu la manière dont se comporte lorsque

; décrit l'axe des y.

\ euillez bien agréer, Monsieur. 1 expression de mes sentiments de respect el de reconnaissance. Votre dévoué.