Si l'on pose

f(ai,x) — f(ai, a.j)

x — a-i /(ai, a2,x) — f(al,ai, a3)

= f(aux),

f{aua,, x),

= /(«,, ai, a3, x)...,

6 CORRESPONDANCE D BERM1TE ET DE STIELTJES.

(ill a

f(x) = /(a{ i (x — «j l/(«i, a2)-l-(a? — ai)(a? — a»)/i a,, a*,a3 < — ...

-+-f> — «i) (x — a2). ■ .(x — aw)/"(X),

\ élanl compris cuire la plus grande el la plus petite des quantités a:, a,, a-2 (in (Ampère). (On s'appuiera sur l'exercice

précédent.)

J'ignorais absolument le résultat qui est attribué à Ampère, el je regrette que M. Laurent n'ait point indiqué dans <|uel Mémoire mi pourrait en lire la démonstration ('). Autant que je puis le présumer, c'esl sans doute dans \e Journal de V Ecole Polytechnique qu'on aurait eliauee de le trouver.

Je ne sais, Monsieur, si. sous différentes latitudes, à Leyde comme à Paris, ce sont les mêmes devoirs universitaires qui surchargenl les pauvres géomètres et entravenl leurs recherches. \ la Sorbonne, nous avons maintenant une session d examens de baccalauréat, et j'ai le regret de passer bien du temps à lire des compositions et à interroger sur l'Arithmétique, la Géométrie élémentaire, etc. Je revois cependant les épreuves d'un second tirage lithographie de mon cours de cette année, dont la rédaction a été faite par un de mes élèves, et qui a pour objel les intégrales prises entre les limites imaginaires, puis quelques points de l'étude des fonctions en général, et des fonctions elliptiques, .le me permets, Monsieur, de vous annoncer l'envoi d'un exemplaire de ces Leçons aussitôt qu'elles seront parues, et je saisis cette occasion pour vous renouveler l'expression de ma haute estime et de mes sent iments dé> oués.

(') Le Mémoire d'Ampère où se trouve la proposition citée par M. Laurent esl dans le Tome XVI des Annales de Gergonne, p. 829; 1826, ci a pour titre : Essai sur un nouveau mode, d'exposition des principes du calcul différentiel, du calcul aux différences et de l'interpolation des suites, considérées comme dérivant d'une source commune.

Mojvsieuiï,

LETTRE (i.

STIELTJES A HERMITE.

Leyde, >.!\ novembre 1882.

Je vous prie encore de vouloir bien faire insérer La Note cijointe dans les Comptes rendus (').

Dès que j'avais trouvé la formule que je vous ai communiquée dans ma première lettre, je soupçonnais qu'il devait exister une généralisation, que je suis heureux d'avoir obtenue maintenant, après bien d'inutiles efforts.

Vous savez que M. Tisserand avait originairement à développer cos/iy, et c'est seulement plus lard qu'il a reconnu qu'il fallail

chercher le développement de : — • Ma formule générale

montre qu'on peut, en effet, développer cos/?y d'une manière analogue, mais la série procède alors suivant les P^(o, x) qui se

réduisent aux fonctions (1 — x-) -j- (\/().

Je suis bien aise d'en être quitte, maintenant, avec celte formule de M. Tisserand, et je veux laisser reposer quelque temps d'autres recherches qui se rattachent encore à cette question.

Je vous remercie d'avance beaucoup du précieux présent que vous m'avez annoncé, et je me promets beaucoup de fruit de l'étude dé votre Cours, à laquelle je veux consacrer les instants que mes autres devoirs me laissent. Je suis astronome adjoint à l'Observatoire ici : jusqu'ici je pris part aux observations, mais l'année suivante je ne m'occuperai qu'aux calculs de réductions qui sont beaucoup en arrière. Outre cela j'ai encore à calculer des observations astronomiques et météorologiques qu'un voyageur hollandais, M. Ryckevorsel, a faites et fait encore dans le Brésil. Maintenant vous pourrez vous bien imaginer que je n'ai pas beaucoup de loisir pour mes éludes favorites.

J'ai beaucoup de regret, Monsieur, de n'avoir pas eu à ma disposition V Algèbre de M. Laurent, ce qui vous aurait épargné la

(') Sur un théorème de M. Tisserand (Comptes rendus du 37 novembre). Note de M. Stieltjes présentée par M. Ilermite.

S CORRESPONDANCE D HERMITK ET DE STIELTJES.

peine de copier pour moi le passage dans votre dernière lettre. Je n'ai pas encore cherché dans Le Journal de l'Ecole Polytechnique pour la pièce <l ampère.

\ euillez bien accepter. Monsieur, I expression de La reconnaissance que vos bontés m'inspirent, h de mou plus profond respect.