STIELTJES I HERMITE

Toulouse, 25 janvier 1887.

.Mon si 1.1 b .

Je viens de voir que vous attribuez à M. Markoff le théorème

suivant :

Soient

les racines de \ ,, "• alors on a

cos

Mais ce ré>uliai ;i déjà élé obtenu par M. Bruns dans le .Journal de Borchardt, t. 90, p. $27.

De mon côté, j avais, <l un théorème inséré an commencement de [885 dans les Comptes rendus, non seulement ees inégalités \ . mais encore la limitation suivante qui esi plus étroite :

(ai — 1 1-

Xi cos

Pour n = 10, par exemple, on a

D'après \ limites.

[ 0 , JOOOO

n. 1 og56 n. 1 3 }66 "■ ' 1779

D'après (B)

liniiies.

Mais j avais négligé de rédiger complètement ma démonstration, ce que je viens de faire maintenant. J'envoie cet article à

LETTRE lO'l. 2o3

M. Mitlag-Leftler, car c'est une suite naturelle à un article qui ;■ paru autrefois dans les Acta (' ).

Je regrette l » i < • h de ne connaître point La démonstration de \l. MarkofT, mais aucun fascicule du tome XXVII des Mathematische Annalen n'esi encore parvenu à la bibliothèque de la Faculté. Dans nia démonstration, je me fonde sur une proposition d'algèbre 1res simple d'où découle celle conséquence :

Soit

ni ;;/

une forme définie positive, dont les coefficients <7/a(^ ; /. ") sont négatifs, alors, dans la forme adjointe

i i tous les A/a sont positifs.

Comme l'adjointe de l'adjointe reproduit la forme primitive à un facteur constant positif près, on pourrait croire que réciproquement pour

on aurait

niais cela n'est pas exact.

En reprenant cette question que j'avais un peu perdu de vue, je me suis aperçu que cette proposition d'Algèbre est liée intimement à une question de physique (distribution d'électricité sur un système de conducteurs). Ce rapprochement m'a conduit encore naturellement à compléter celle proposition d'Algèbre sous un autre rapport. J'ai exposé lout cela dans mon article pour les Acta.

Je pense beaucoup à l'équation modulaire, et la ligne de discontinuité, mais je commence seulement à me rendre un peu compte des difficultés qu'il faudra vaincre.

En vous renvoyant mes meilleurs souhaits, je vous prie, Mon-

(' ) Note des éditeurs. — Sur les racines des équations X„= o (Acta Mathematica, t. IX, p. 385-4oo; [887).

sieur, de vouloir bien accepter l'assurance de mon dévoûmenl respectueux.