STIELTJES I HERMITE

Toulouse, 3 té\ rier 1887.

NSI EUR.

Vous avez poussé vraiment trop loin votre bonté en m'envoyanl le fascicule des Mathematische Annalen <pii contienl l'article de M. Markoff, et, en vous le renvoyant, je ne saurais trop \ous remercier.

J'ai vu que M. Markoff établit aussi cl pour la première fois, dans son article, la limitation plus étroite des racines \„ 0 que je vous avais communiquée.

xMais la démonstration que j'ai développée pour les Acta Mathematica est différente de celle de M. Markoff.

Il me semble que la fonction

où a est une constante réelle, fournit un bon exemple pour l'application du théorème de M. Miiiag-Leffler. Je trouve

eax 1 Y^ >•?• cos( o.arn: ) -- 4 niz sin (oamz 1 ,,,

(A ) = h > r -— ; - -+- Cl (x).

La fonction entière §(x) change brusquement de valeur avec a : ainsi

cl v 2

0 < a < 1, ÇJ (x ) = o,

a = 1, Cj (a?) =-i — j

1 < a < 2, ÇjO ) = e(«-D*,

si l'on développe le second membre de (A.) suivant les puissances croissantes de x (en supposant o <C d <C 1) et qu'on compare !<• résultat obtenu avec la formule

- .— a -4- <çi(a)x -•- cp2(a)a72-' ...

20Ô CORRESPONDANCE U BEKMITE ET DE STIELTJES.

qui son de définition aux polynômes de Bernoulli cpi (a), cp2 a . ... ! Jordan , t. 11. |>. i 02 . on obtient

çp2/t(a 1 = (—

ce sonl les développements des polynômes ta en séries de Fourier qu'on trouve dans Le Tome II du Traité de Schlômilch.

On peut considérer i \ aussi sous I»' point de Mie d'une série de Fourier, mais cela suppose x réel el ne donne pas le vrai caractère de cette formule. Mais de cette manière ces discontinuités pour a — o, a = i rentrent bien dans le type de celles qu'on rencontre à chaque instant dans la théorie des séries trigonométriques.

A côté de la formule (A) on peut mettre les suivantes qui donnent lieu à des remarques analogues :

cosbx i

>in bx

V^ ■ i >"~l %x cos Im - .

\, Tzr« i l— ' '' -Oi

X^ i — i l"~~ ' a /' ~ sin hn - ,

cosbx v^ ' — iV'-1'-)// — iWcos(n — ^)b~

COS X jm*> (n 1)2^2 . a -2

-in A./ X7 ( — i")"— i2arsin // — t)^~

si la constante réelle A ne se trouve pas dans l'intervalle indiqué, il faul ajouter à droite une fonction entière dont on trouve la forme immédiatement.

Mais, à vrai dire ces quatre formules peuvent se déduire toutes de la formule i A I qu'on peul regarder comme la principale.

Mais en voilà bien assez sur un sujet élémentaire.

En \oi\~. renouvelant. Monsieur, mes remerciements pour toutes vos limités, vous voudrez bien nie croire votre tout dévoué.

107 ■- HERMITE I STIELTJES.

Paris, 18 février 1887.

Cher monsieur Stieltjes,

J'ai été bien empêché de travailler pendant ces dernières semaines et je viens bien tardivement vous dire que vos applications du théorème de M. Mittag-Leffler m'ont beaucoup intéressé,

surtout la première concernant la fonction • Les autres

gX ,

, . , cosA.r s'mbx

concernant les quantités — : > - , ... son| certainement

1 si n a? sina?

importantes, mais Legendre les a déjà données, avec la détermination de la partie entière, dans les Exercices de calcul intégral, page 169 et 170 (5e partie, § II;. Si ce n'est pas abuser de votre complaisance, je vous serais bien reconnaissant de me donner la matière d'une leçon à la Sorbonne, en m'indiquant

l'analyse que vous appliquez au premier cas de — -• Depuis

longtemps, j'avais remarqué que, en considérant-— , il semble

absolument impossible de parvenir à la détermination de la partie entière, ce qui doit faire mettre d'autant plus de prix au cas où. comme dans le vôtre, elle s'obtient facilement.

Cette année, je me propose d'insister sur la détermination des intégrales au moyen des coupures, en utilisant les exemples faciles qui se trouvent par d'autres méthodes, par exemple

/ emlx cot dx, / -

J0 \ 1 } J0 sia{x-z

- dx,

Une petite remarque à ce sujet : Supposez l'entier m >> o et ; un point situé au-dessus de l'axe des abscisses, on aura

emix cot : dx = i i- <■""'-

et, pour m = o, tandis que

cot dx = 1 1 1Z,

e-mix cot

208 CORRESPONDANCE D'EBRUITE ET DE STIELTJES.

Cela étant, j'envisage la formule de Fourier écrite ainsi :

\ ous \ oyez que 1 on a

/'< ./' ! ('(il - - ,/.r - --7— O(z)

pour iimi le demi-plan au-dessus de l'axe des abscisses. Au-dessous, on 1 rou\ erail pareillemenl

J/'i ./• i col - dx — — — if(z).

En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltj es, l'assurance de mes sentiments affectueux et bien dévoués.