STIELTJES I HERMITE

Toulouse, 19 février 1887.

MoNSIEÏ 11 .

\ uih trouverez ci-joint l'analyse que | ai suivie pour obtenir La décomposition de — <i je m estime heureux si je peux vous

être agréable de cette manière.

Comme nous verrez que je n'ai rien fait que suivre votre Douzième Leçon ( p. 0,2 el sui\ . .

Il m'avait frappé que, pour obtenir la décomposition de cota?, nous ne considérez pas directement

dz

I cot ;

rcotz dz

LETTRK 108. 209

C'est évidemment afin de démontrer plus facilement

■oi s dz

f rn\ : (!:■

nu / = o,

ce qui réussit maintenant à l'aide de la formule de M. Darboux. Ce qui est un peu artificiel dans mon analyse, c'esl cette supposition

nm — = o,

mais, sans cela, on ne trouverait pas si facilement que

lim3uc= Hm3])A= o et aussi dans le cas a = 1 ou a = o

... 1 1 lim3 = H — ou

Du res*te, j'ai peine à croire que la formule obtenue soit nouvelle, mais peut-être n'a-t-on pas insisté sur son vrai caractère. Les formules

il e

■^*-(- e~^x 1 X cos;

1 eln—e-\T\ 2X l2-t-X2 22+X'2

7T e^x — e~^x 1 sina? asiiv>..7- 3 sinSa?

7t < a? < 7TJ

(p. 142, i43 du tome II de M. Schlômilch) qui se trouvent, je crois, dans Euler, reviennent au fond à la même chose, mais M. Schômilch les obtient comme application de la série de Fourier; x est la variable principale et X une constante réelle.

Mais je trouve très remarquable que Legendre, en donnant les formules pour

cos .

. b.r pin

cos sin

ait déjà songé à voir comment il fallait modifier ces formules dans le cas que b n'est plus compris entre ±1, et je dois vous bien remercier de m'avoir indiqué ce passage des Exercices.

Votre détermination des deux parties v(x) et b(x) d'une fonc-

tiony(.r) à l'aide de l'intégrale

/ f\ a?) cot ( '- j dz

me semble très singulière. En effet, une fonction réelle f{ x ) étanl donnée arbitrairement entre o el 2 •-. il n'est pas possible, en général, de l'étendre pour des valeurs imaginaires de la variable. Mais votre formule montre que les parties a et -l existent chacune dans la moitié du plan! C'esl un résultai dont je dois chercher à nie rendre compte.

Je crois me rappeler vaguement que M. Poincaré a annoncé quelque part un résultai qui doit avoir un rapport intime avec cela.

A l'occasion de cette détermination d'intégrales au moyen des coupure.-, permettez-moi. Monsieur, de vous signaler une petite difficulté que j'ai rencontrée dans votre Cours. Vous considérez, page i |3. l'intégrale

et vous trouvez

'!• N)— *(N'i =- ii-\.

Mais la démonstration suppose essentiellement que v. et (3 sonl finis, car, sans cela, les intégrales

dt /*p dt

•(")=/" rz^n' *<N'>=/

page 142 n'ont pas de sens.

L'application (p. i44)àun cas où a = — x. [3 = — x est donc sujette à une petite difficulté. En étudiant votre Cours, je n'avais pas fail celte remarque, mais, au moment où j'exposais cela dans mon Cours, je m'en suis aperçu el cela m'a brouillé un peu.

J'espère sincèremenl que la démarche faite auprès des autorités suédoises aura le résultat désiré.

Veuillez bien agréer, Monsieur, l'assurance de mes sentiments respectueux et dévoués.

LETTRE 110. i M