STIELTJES I HERMITE

Toulouse, i'r mars 18^7 Monsiei n .

J'espère que vous voudrez bien m'excuser si j'ai ajourné à quelques jour- la réponse à votre dernière lettre qui m a fait tanl de plaisir.

D'abord, je dois faire amende honorable, après avoir consulté l'article de M. Poincaré {Comptes rendus, 1. KG VI, p. n34), je vois qu'il n'a pas le rapport si immédial que je croyais avec la question qui se présenta à propos de votre intégrale

/ f[ X ) cot de.

Le théorème de M. Poincaré esl le suivant :

Soient/ x \ une fonction existant seulement dans la mollir supérieure du plan, A ■/ > une fonction existant dans la moitié inférieure du plan, alors on pourra toujours trouver

,f (OC,

deux fonctions a x . fy(x) existant dans tout le plan, telles que

selon I11 ras. œ x admettra pour coupure la partie de V axe de — 1 à t, ty\ x 1 les deux coupures de — x à — 1 et de -+- 1

LETTRE III. !l5

Dans sa démonstration, M. Poincaré applique la formule d<-

Fourier

et il s'appuie aussi sur cette remarque que L'expression

JUt«mte

définit une fonction dans la moitié supérieure du plan et

une fonction dans la moitié inférieure. Dans l'article cité, M. Poincaré introduit la dénomination de coupure artificielle qui me semble heureusement choisie et qui répond à un besoin que j'ai ressenti quelquefois.

L'observation de M. Picard à l'égard de la formule de Cauch v

'<*)SBrâ/

f{z)dz

ne répond pas précisément à la question telle que je l'avais envisagée. En effet, elle montre qu'on peut calculer f(x) lorsque les valeurs de f(z) (sur la courbe C) sont données. Mais on ne peut pas donner arbitrairement les valeurs def(z) sur la courbe. Vu contraire, on sait (Riemaniv, Dissertation inaugurale) qu'en donnant simplement sur la courbe G la partie réelle u de

la partie imaginaire v est déjà déterminée, par là, à une constante additive près; en effet,

Dans la question telle que je l'ai envisagée, il faudrait donc démontrer que v s'annule sur l'axe des quantités réelles. Riemann (Œuvres, p. 220) a énoncé ce théorème :

Étant donnée une Jonction périodique J\x) de la variable

CORRESPONDANCE DlllliMlll KT DE STIELTJES.

réelle se, alors il existe toujours une fonction z*.r — iy) finie pour y >> o et qui se réduit à f\ x pour y <>.

Il renvoie à sa dissertation pour La démonstration. Mais M. Schwarz Journal de Borchardt, i. 71 i a déjà appelé l'attention sur cetle assertion qu'il semble difficile de justifier.

Pour ma part, je crois pouvoir démontrer sans réplique ce qui suit. :

Si la fonction /*(.£ a une discontinuité dans sa dérivée, alors l'assertion de Riemanu ue peu! rire exacte.

Si. dans ce cas. il esl possible de continuer la fonction / x dans une moitié du plan, la partir imaginaire c ne peul pas se

Représentation de f{x).

réduire à zéro sur l'axe des quantités réelles. Mais, quoique mon raisonnement n'est pas bien compliqué, je ne crois pourtant pas devoir le développer ici.

Je viens de voir que la formule de décomposition de — ■ a été

donnée par M. Kronecker. C'est, en effet, la formule (n . page85i, des Comptes rendus de l'Académie de Berlin de i885. M. Kronecker donne une démonstration très curieuse qui lui fournit une formule plus générale | i 2 <»ù il sulïil de faire û - - i pour retrouver la formule ~ .

M. Kronecker dit aussi l'avoir donnée déjà dans les Comptes rendus de i883, page 499: mais, en cet endroit, il s'est borné simplement à dire que la formule revient au développement de Fourier de cosaœ, sin«^. .rajoute que dans le .Mémoire cité (Comptes rendus de i885 . M. Kronecker a remarqué aussi qu'on déduit aussitôt de celle formule le développement en série de Fourier des polynômes de Bernoulli.

Votre très respectueusement dévoué.