HERMITE A STIELTJES

Paris, 8 mars 1887.

Cher Monsieur,

J'ai bien de la peine, à cause de L'allemand et de la complication

des calculs, de tirer parti du Mémoire de M. Kronecker, qui me parait cependant dune grande importance, et je ne suis guère plus heureux avec le beau travail de M. Poincaré sur les fondions à espaces lacunaires. Comment donc arrive l'expression

Rebuté, comme vous voyez, par l'Analyse, je me suis occupé d'une formule que Gauss donne dans l'article : De nexu inter multitudlnem classium, etc. (Œuvres, t. II, p. 270), pour exprimer le nombre des points contenus dans le cercle x'1 -h y- = A cl sur le contour, dont les coordonnées sont des nombres entiers cl j'ai remarqué qu'elle s'élend au cas de l'ellipse Ax- + By- = N.

Faites

pili

le nombre des points contenus à l'intérieur el sur la circonférence de l'ellipse est

{a(3 -+- 1 -+- %{a -+- b) -+- a( ;ra+1 -+- ^'a+2 -+-...-*-#«)

On doil à Dirichlet une formule d'une grande importance dans les questions de ce genre et que j'ai employée récemment dans un article du Journal de Crelle : Remarques arithmétiques sur quelques formules, etc., t. 100, p. 55.

En voici une démonstration facile :

Suii y J\X) la courbe figurée par V B depuis x = OA = !■ jusqu à x = OB = £>, il dont on suppose l'ordonnée décroissante entre ces limites. En désignant par A" la projection de A' sur

I axe < I r. je chercherai le nombre des points a yant |)our ordonnées des entiers, qui sonl contenus dans l'a in- ( )BB'A'A"0 avec ceux qui se trouvent sur la courbe et sur les axes de coordonnées OA" et OB. L'aire en question se compose du rectangle ()AA'A"Oet du segmenl \ B IV V \.

Dans le rectangle, avec la condition admise, le nombre des points est z . E[/'i ; <\. et dans le segmenl c'est la somme

Cela étant, je fais la même énumération d'une autre manière, en projetant le point B' sur l'axe des ordonnées en B". ce qui me donne, de nouveau, un rectangle OBB'B"0 et un segment

Or le rectangle me donne, si je pose x = g\ y

pE[#(p)]

et le segment conduit à la somme

Ef^ + Ol + E^ + a

et taisant r, = E [/(?)]■ On trouve, en égalant les deux expressions, la formule même de Dirichlet, dont les applications sont nombreuses et intéressantes, par exemple en faisant y = xm. Pour m = 2, on trouve ainsi un résultai qu'a donné M. BougaïefF, dans un article très remarquable publié dans les Comptes rendus ' .

Vote des éditeurs. — Voir Comptes rendus, t. C, p. 1109.

LETTRÉ 113. 2ig

Je reviens au\ fonctions p ■ vous remercier des indications

précieuses que contient voire dernière Lettre <'i vous dire que, sur ces questions difficiles autan I qu'importantes, je ne suis qu'un écolier, n'ayant pu, à cause de l'allemand, étudier Riemann dont je n'ai qu'une idée absolument superficielle. Mais je sens tout l'intérêt de la proposition du grand géomètre à laquelle vous faites des objections qui portent sur la discontinuité possible de la dérivée. En précisant les conditions restrictives qu'elle comporte, vous ferez une chose extrêmement utile, et ce me scia un grand plaisir d'étudier votre travail sur ce sujet et <lc me faire votre élève. M. Mittag-Leffler. m'a informé que la lettre écrite par les membres de la Section de Géométrie dans l'intérêt des Acta a reçu du Ministre de l'Instruction publique de Suède un accueil on ne peut plus favorable, et que, maintenant, il ne doute pas que le Storthing n'accorde les subventions nécessaires à son Journal.

Avec la nouvelle assurance de mon affection bien dévouée.