HERMITE A STIELTJES

l'ai -is, 1 1 mars 1887.

Cher Monsiei r.

Vous ave/, éclairé de La plu- vive lumière le théorème de Poincaré qui m'avait paru si obscur avant d'avoir votre Note que j ai lue avec admiration, je vous le dis en toute sincérité. Mais je ne dois point garder pour moi seul votre beau travail, et je viens VOUS plier d'en faire le sujel d'un article étendu pour un de nos recueils, le Journal de M. Jordan ou les Annales de V Ecole normale. Je suis extrêmement frappé de la possibilité que vous avez si bien établie des développements en séries de ^(x)&(x)1

LETTRE 114. 2 ! i

suivant les puissances descendantes el de •!><'./• i (-)../■ ,. suivant Impuissances croissantes de La variable, el je ne puis douter que tous les géomètres u'attachenl le plus grand pris à votre analyse.

Il me semble même que je pourrais donner votre méthode dans une de mes Leçons, à moins que nous ne désiriez vous réserver d'approfondir encore davantage le sujet, qui en vaut La peine par son importance. Vous pensez bien que je me suis demandé si l'on peut prendre comme exemple

fiX) = —7- / 'ï>( I) Col ,ll

au-dessus de L'axe des x,

j\ ( x ) = — -jX- I <!>(/> cot ^~- dt

au-dessous, de manière à associer à la formule de Fourier

qui peut n'exister que pour des valeurs réelles, la fonction F(#) qui existe dans tout le plan, sauf sur Taxe des abscisses. Mais il m'est vraiment superflu de vous donner aucune indication et, mieux que moi, vous saisissez, dans toute leur étendue, le rôle de ces considérations nouvelles el profondes, sur une question capitale d'AnaIvse.

Vous me faites grand plaisir en m'apprenant que vous songez à la coupure des équations modulaires, coupure qui n'esl pas artificielle, comme celles de Riemann ou celles des intégrales définies. Si vos efforts sont couronnés de succès, comme je l'espère, permettez-moi de vous engager à en faire le sujet d'un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences et sur lequel M. Darboux. M. Poincaré el moi nous ferions un Rapport qui nous donnerail occasion de dire publiquement ce que nous savons tous de votre beau talent.

En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes, l'expression de mes sentiments affectueux et bien dévoués.