Il ERMITE I STIELTJES i ' I

17 mars 1887.

Cher Monsieur,

Voire expression de 6(.r)<p(.r) dans (oui le plan, par la fraction continue

me parait extrêmement remarquable; elle me rappelle que M. Halphen, dans les Comptes rendus d'il y a deux ans, a déjà signalé, au point de vue de la convergence, les circonstances singulières que présentent les développements de cette forme, et je suppose que le travail de l'éminent géomètre aura attiré votre attention. Pendant que vous songez à la cinématique, aux dépens de recherches d'une nature plus élevée, je dois aussi m'occuper de mon enseignement, et j'ai charge de fournir des exemples d'intégrales définies qu'on détermine au moyen de résidus. Peut-être dans vos conférences serez-vous aussi conduit à ce sujet; c'est ce qui m engage à vous indiquer la remarque suivante qui fera le sujet d une de mes leçons.

Soit

Je me propose d'obtenir l'intégrale

rezxdz i=J FlJ)'

prise le long d'un contour fermé comprenant à son intérieur

(') Notes des éditeurs. — Entre le 12 et le 17 mars, il y a eu sûrement quelque lettre de Stieltjes que nous ne possédons pas.

a h I. Si l'on désigne par y. Le degré de \\z i de sorte que

il résulte d'abord de l'expression même de L'intégrale que, pour

X ■= O, en aura

ci par conséquenl Le développement suivant les puissances croisa

santés de ./•

J = A xv--1 + l : /:j C .rt^ ' —

Telle est done aussi la somme dos résidus de La fonction

Fi z

pour le> divers pôles a, b, .... /.

Or Le résidu correspondant à l'un d'eux, z = a, par exemple,

est de la forme

<"'iiw-i<*),

Hw -i M ) étant an polynôme en x, du degré />? — 1 . ( )n aura donc

la relation

e«*n/n, (x) -+- eton„, (a?) +. . . eteuV, i x i

= A a??*-1 -+- Bart* +■ Ca;^1 h- . . . .

Cela étant, je remarque que Le système des polynômes Il,„i, ll„ ,. ... donne le degré d'approximation le plus grand possible de la fonction

ea*Pm-i(x) •v-ebxPn-i(x)+... i-e^Ps-t(x).

Effectivement, Le nombre des constantes arbitraires contenues]

dans Pw t, l'/z-t, •••■ I >.y i est m + n H-. . .-*- s = p., et comme

elles entrent sous forme homogène dans les coefficients des différentes puissances de la variable, on pourra égaler à zéro les y. — i premiers termes. Elles se trouvent en conséquence déterminées. sauf un facteur commun, parla condition que Le développement de la fonction linéaire des diverses exponentielles commence an terme en xV-~\ et c'est cette détermination qui se trouve réalisée par les expressions

Je confie maintenanl à votre cœur arithmétique ce dont je ne dirai rien aux élèves qui ne s'en soucieraienl guère; je me propose de donner un sjsin le formules récurrentes, pour obtenir

de proche en proche, pour toutes les valeurs de l'entier ///. le système des polynômes qui se rapportenl au cas de

= r îf?

ezx i/.r

Mais pour cela, j'ai besoin d'un peu de temps, el j<' ne sais pas trop quand il me sera possible d'en venir à bout.

Dans l'espérance qu'un beau travail résultera <lr votre idée excellente et si originale sur le mode d'expression «les fonctions

@(x) y(x), S(x)'\)(x), et en vous lelieilanl vivemenl (le celle nouvelle conception, je vous renouvelle l'assurance de mes senti ments bien affectueux et bien dévoués.