UERM1TE A STIELTJES

Paris, 29 mars 1887.

Chkii Monsieur,

M. Mitlag-Leffler a pris pour sujet de ses leçons à l'Université de Stockholm, le Mémoire de Riemann sur les nombres premiers qui a été l'objet des excellentes recherches dont vous avez donné les résultats dans les Comptes rendus de 1 885. Le théorème merveilleux que le nombre des racines de l'équation \{t) = o, dont la partie réelle est comprise entre les limites o et T, est

— log ,

a naturellement appelé son attention el il m'écrit qu'il lui a été impossible de le démontrer, en faisant appel à mes lumières. Vous ne serez pas surpris que j'y ai répondu par le conseil de recourir aux vôtres, qu'il a suivi avec empressement. M. Mittag-Leffler se trouve cependant arrêté à un point, il ne peut voir comment vous établissez que la série

1 ~~ 2* ~~ 3 * ~~ 5* "*" 6* Ts + " "

22Ô CORRESPONDANCE D'HERïIITE ET DE STIELTJES.

esl convergente tant que la partie réelle de s surpasse - > et c'est en

son îKiiu que je viens vous prier de vouloir bien lui écrire pour le tirer d'embarras. Vous lui ferez grand bien eu lui donnant les éclaircissements qu'il attend, me dit-il. avec impatience.

Permettez-moi une remarque élémentaire et pédagogique sur les facteurs primaires à laquelle m'a lait penser le passage de l'expression

sin.r = x

à celle-ci

cos* = J2(i-^

On y parvient immédiatement, au moyen de l'équation

sinaa? = asina: cosar

(iui donne cos;r=- — r-^> mais on peut désirer d'y parvenir en 1 'i^nx 1 J l

changeant x en — \- oc. Considérez plus généralement la formule

où les polynômes V„(x) sont de degré quelconque. En changeante eu x -+- ;, l'identité

permet d'abord d écrire

»(-+«)-c+»II[(,-é)(,-î^i)]^1

on obtient ensuite, en divisant membre à membre avec

l'expression

que je vais appliquer au cas de sin^r. On trouve alors

^=n[(---^HK)<

qui ne donne poinl pour £ = -la même formule (pic tout à l'heure.

La réponse à cette difficulté est dans l'expression plus générale (pic voici, où a désigne une constante quelconque, à savoir

sinCa? -t- £) si ni-

"nlO-^HH

Faites, en effet, en particulier a = -> avec £=-, et \<>us

avez bien le résultat cherché. Enfin isolez le facteur qui correspond à n = o, vous avez la quantité

e-.rcotrr / 1 + | je",

et comme cola s'annule pour a = o, vous parvenez à l'autre

formule.

Et tels sont les pauvres fruits de mes leçons.

En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes, l'assurance de mon amitié bien dévouée.