STIELTJES A HERMITE
(!\, rue de Fleurance-Mon plaisir) Toulouse, i5 juin 1888.
Monsieur,
Voulez-vous bien me permettre de revenir encore sur ce problème des substitutions linéaires
p ■+- q x -f- ry -t- sxy = o
(') Note des éditeurs. — Le Mémoire de Stieltjes sur ce sujet est inséré dans le Tome II des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, p. K.i, 1888 et a pour titre : Sur la transformation linéaire de la différentielle ellip-
dx
tique — =•
:ïù'\ CORRESPONDANCE d'heRMITE ET DE STIELTJES.
qui donnent
je vous promets expressémenl que ce sera la dernière l'ois.
Vous savez que j'ai considéré d'abord le cas ai= bi, alors //. (/. r. s s expriment rationnellement au moyen de */, racine de
J ai tâché alors de traiter le cas général de la même manière en
établissant d'abord l'intégrale générale de l'équation différentielle
sous la forme
où les a. j. y, . . . sont des polynômes du second degré en C (la constante arbitraire).
Mais il m a coûté beaucoup de peine pour trouver cette formule (i) et elle est très compliquée. Mais, une fois cette formule obtenue, la solution du problème n'offre plus de difficulté et l'on trouve directement l'équation du quatrième degré en C. Si C satisfait à cette équation, le premier membre de (i) est un carré partait et l'on obtient ainsi les substitutions linéaires
Pi — qtx + /;■}■ -r- stxy = o ( i = i, 2, 3, 4 ). M. lis le théorème que je vous ai communiqué,
VII r — XII y— cons t. II 1 pi-+- qi& -+- l'iy ■+- s,-ry ),
permet de résoudre la question d'une manière beaucoup plus facile.
En effet, il est clair qu'on n'a qu'à donner à y une valeur particulière (par exemple o ou go) et à résoudre alors une équation
du quatrième degré
Il y a même avantage à considérer directement l'équation
YII,-XIIv=o,
en \ regardant y comme constant. Or il est bien connu qu'on
peut faire dépendre la solution de celle équation encore de
l'équation résolvante
En poursuivant celle voie, je trouve que la détermination de ces substitutions linéaires s'obtient aisément à Taule de ces fonctions t!>, . . .
que vous avez rencontrées dans voire premier Mémoire Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées (Journal de Crelle, l. 5î2, p. i5). Il faut considérer en même temps eclles qui appartiennent à X et à Y.
En somme, on reconnaît que, pour avoir les />,, <ji, ..., il faut calculer d'abord les racines «)5 u2, u3 de l'équation en u. Ensuite il y a à calculer les racines carrées
ffli = vA "ï — u0a2 — a0Ui)(bj — b0b2 — 00ul ), m 2 = y/( a\ — a0a2 — «o "2 ) (à\ — b0b2 — bdu2), m 3 = ^(«1 — «o«» — a0u3) (b'i — b0b2 — b0u3), mais à cause de
nii m2m3 — - (a§ «3 — 3a0«i «2 + ia\){blb3 — 360^i &» + 2 b] ),
on a à calculer réellement seulement deux racines carrées.
Les pi, qi, . . . , s'expriment alors rationnellement.
Pour avoir séparément les racines de X = o et de \ = o, il faudrait calculer
y/aj — aQa2 — a0u3, \J b\ — b^b2— b0u3,
ce qui constitue, en réalité, quatre racines carrées à calculer. En somme, je me suis donné bien du mal pour éviter le calcul de deux racines carrées; on pourra penser que c'est bien peu de chose.
On voit aussi maintenant comment il arrive que, dans le cas B/= bi, il suffit de connaître U\, u>, u3.
.!<■ crois que ces résultats éclairciront aussi la nature de l'équation en (. donl j'ai pari»' plus haut. En effet, si je considère l'équation en 1) donl les racines sonl
— /??! — m2-^ rn3,
il me semble qu'il doit exister une relation simple entre C el D, el je ne pense pas me tromper en soupçonnant que celte relation sera
YD-t-8
en sorte qu on pourrai! même avoir simplement C = D en changeant convenablement la constante arbitraire C qui figure dans la formule (i).
Quant au théorème
YII.r— XHr= U(pi ■+■ qtx — rty + stxy i,
vous aurez remarqué sans doute que, à cause des propriétés invariantes, d suffit de l'établir dans le cas
Y = (i— r2)(i — k*y*)t et il vient alors
