dx2 dy2 . ,,, ... Ha- Hv T

particulière de 1 équation -^- = -— de 1 égalité -1— = -=£• Je crois

bien aussi avoir rencontre autrefois comme conséquence de la relation qui lie une forme biquadratique avec ses invariants du sixième et du quatrième ordre une substitution qui ramène l'intégrale elliptique générale à la forme que vous considérez

du

et peut-être y aurait-il utilité à la rapprocher de celle dont vous

faites usage u = =^« Je la rechercherai dans mes anciens arli-

(les sur la théorie des formes du Journal de Crelle, mais elle m'échappe en ce moment; permettez-moi, avant (pie je la retrouve et, si paresseux que je sois, de vous indiquer une conséquence arithmétique de l'équation

11,(0) = iy/q Al'!, où l'on a

A = (i — q2)(i — ?*)... et P = (r + <jr2)(n- ?*)....

Si Ton désigne par/(/i) le nombre des solutions en nombres entiers et positifs, sans exclure zéro, de l'équation

(l) X\ -+- 3^2+ J^3 + - • •+ (^V — ')-rv= "■

238 CORRESPONDANCE d'iIERMITE ET DE STIELTJES.

où je suppose

je trouve d'abord que l'on a

Cela étant, ];i fonction numérique f(n) s'obtient de proche en proche, par cette formule <lr récurrence

f{n) = fin — 2) — fin — io) -t-/(/i — 2 \) — . . . -4-/(n— '»)— /(« — 14 )-*-/(» — °>o) — . ..

Le terme e est égal à l'unité ou à zéro, suivant que n est ou n'es!

, , r m.2 -H ni

pas de la tonne •

La même équation donne la relation suivante, à l'égard de la

fonction plus compliquée

F(/i) =V(.r1-M)(.r2-M)...(lrv+i),

où le signe 7 se rapporte à tous les systèmes x,, ^r2, .... arv de solutions de la même équation (1). On a alors

au lieu de

la sommation s'étendant à toutes les valeurs de /• telles que l'on

ait, soit

n — n/,2± /') - o ou bien n — >o.

L'équation

0(o) = (1 - ry2)(i - ryi). ..[([- q)(i - q*)(i - q*). . .]*

donne lieu à des conséquences analogues sur d'autres fonctions qui

se rapportent à L'équatioD .r, + 2X2-+- 3#3 +. . .+ nx„ — /?, mais ce no sont là que des remarques bien faciles et qui ne me semblenl avoir que peu d intérêt.

Dans le même genre, et sans faire plus d'efforts, j'ai complété un article de M. Heymann (') dans le dernier cahier de Crelle, <'n présentant comme il suii la réduction à la forme I' + t'Q d<- l'intégrale elliptique

dx

ib)

où X est un polynôme du deuxième ou du troisième degré à coefficients réels. Le module \/(ûc — a)--\-b- se transforme en une expression rationnelle, en posant

it

or on Irouve ainsi

b(t— »)« . dx kb (( -4- 1 \dt

x — a — 10 = — — - — — nuis = = — I / - —

a< Jx — a—ib V 2 / /,

Désignant par — on — > suivant que X est du deuxième ou du

troisième degré, la transformée de \ par la substitution considérée, j'obtiens

' ) dt

on bien

fb rt(t-h£)dt

\ftT

C'est le résultat bien connu de Jacobi qui se trouve ainsi fort simplement.

En vous priant, mon cber ami, de vouloir bien faire parvenir à M. Baillaud mes remercîments pour l'envoi qu'il m'a fait d'excellents Mémoires, où j'ai vu avec grand plaisir le concours analytique que lui a prêté M. Tannery, et en vous renouvelant l'expression de mes sentiments de bien sincère affection.

(') Note des éditeurs.— L'article de M. Heymann est inséré au Tome 103 du Journal de Crelle, p. 87-88 (1888).

i\o correspondant: d iieioiite et de stieltjes.