HERMITE ! STIELTJES

Paris, ig juin i8S8.

Mo N CHER Ull .

Je mérite grandement les reproches que vous me faites; je me les suis adressés moi-même après vous avoir écril lorsque peu à peu se sont réveillés les souvenirs de mes recherches d'Algèbre qui remontenl à ] >l u < de trente ans. Mais vos reproches onl si peu d'amertume que je ne m'engage nullemenl à ne pas bien d'autres fois les encourir, en écrivant rapidement, sans beaucoup réfléchir. Lorsque j'ai abandonné mes études sur les formes pour m'occuper de la transformation des fonctions abéliennes du premier ordre, j'avais entrevu quelque possibilité d'étendre aux formes à trois indéterminées, la méthode qui m'avait conduit aux lois de réciprocité pour les formes binaires. C'est dans la dernière ou l'avantdernière année du Journal de Cambridge et Dublin que j'ai exposé mon procédé el dans l'espérance «pu- vous ferez ce que je n'ai pu faire, que vous entrerez en pleine et complète possession de ce que j'ai seulement entrevu de loin, je viens vous prier de jeter les yeux sur cet ancien travail, le plus étendu de ceux que j'ai publiés sur la théorie algébrique des formes. Vous connaissez certainement et vous admirez comme moi le Mémoire de M. Salmon sur les formes cubiques à î indéterminées. Nous aurez remarqué le complet parallélisme entre les covariants et les contravariants de la forme considérée qui m'a extrêmement frappé; j'en tirais l'induction qu'il doit y avoir une liaison analytique qui associe nécessairement à tout covariant un contravariant de même ordre, et en me bornant aux formes ternaires, c'était cette liaison que je voulais d'abord découvrir. 11 me semblait qu'en étendant auxformes ternaires les transformations en symboles dont j'avais fait usage pour les formes binaires, le lien cherché apparaîtrait, de sorte qu'à la fois on aurait une loi spéciale de réciprocité interne entre les covariants el les contravariants el la généralisation delà lui de réciprocité que j'ai obtenue entre les covariants et les invariants des formes binaires. Nous me dédommageriez, mon cher ami, et vous me feriez oublier le regret de n'avoir point persévéré dans

cette voir de recherches, si vous vouliez I • i * - 1 1 avec votre < I < > m d'invention, ingenium divino dono aureum, vous y engager et la suivre.

En attendant que vous vous décidiez à entreprendre la conquête des lois de réciprocité interne el externe, je vous fais mes compliments, parmi bien des choses intéressantes que vous m'avez communiquées, en particulier pour l'équation

Y 1 1.,. — \ II , = G II ( p -+- q x -f- xy -+- s

qui me semble extrêmemenl originale. Et je ne saurais trop vous encouragera écrire pour les Annales de Toulouse un Mémoire où la concision ne nuise pas à la clarté et <pii n'exige poinl pour être compris cette attention fatigante qu'exigent les notations par trop condensées de Clebsch, dont l'usage est malheureusement -.i général. Je ne renonce pas à peut-être ajouter quelques remarques à vos recherches, ayant fait l'année dernière pendant les vacances quelques petites choses clans un domaine voisin. Mais, en ce moment, il me faut envoyer un article à Y American Journal, el je ne suis occupé que des développements en série, suivant les puissances de r/, des quantités {/k, y/ ' k' et \Jkk', A l'égard de cette dernière, j'ai remarqué qu'ayant

lVkT'=yWq?Q ou bien

on en conclut l'expression

i;/tf=f/2"72(-i)V(")r)

où f(n) est le nombre des solutions de l'équation dont je vous ai

parlé

e1-t-3c2-t-5c3-f-...-i-(2v — 1 ) cv = n .

On a pareillement

y~k = J-2 \/q P*Q = ^|f = Jl VïJùi-lpfxWq»,

où y, (/i) est le nombre des solutions de

c: -4- 3 c2-f-. . .+ (2 m — i)cv+ 2[Ci -t- 3c'2-+-. . .4- (2V — 0c'v] — "'

>'l'l CORRESPONDANCE D BERMITE ET I)i: STIELTJKS.

Vous savez que ce dernier développement jour un grand rôle dans le beau Mémoire de Sonhke(<) suv les équations modulaires que je recommande à votre souvenir. De vous je dirai ta ma g nus eris . [polio, lorsque \<mi^ aurez pénétré le mécanisme caché, m\>térieux <l<- la disparition des coupures, dans leur premier membre, el j'ai confiance que vous réaliserez mon espoir.

\\ ec ions nu 's vœux, mon cher ami, pour le succès de \ os efforts et de vos travaux, el en vous renouvelant l'assurance de ma bien sincère el cordiale affection.

P. S. — Ne vous pressez pas «le- me renvoyer le rendiconto que j'ai eu tort de vous adresser, je n'en ai aucunement besoin maintenanl.