STIELTJES A IIERMITE

Toulouse. io octobre 1888.

Monsieur,

Vous devez avoir quitté Barèges depuis quelque temps el j'espère que I i cure vous aura fait tout le bien possible. Mainte-

(') Aole des éditeurs. — Les travaux de Sonhke sur les équations modulaires sont contenus dans deux Mémoires publiés dans le Journal de Crelle, Tome 1?, page 17S et Tome 1G, pages <j--i'io.

nant, je vous prie sincèrement de ne pas négliger les conseils des médecins et de ne pas faire attention à ce qui suit .si le travail \011s est encore défendu.

Vous connaissez la formule de M. Prym

où

Q ( a) = f x"- ' e~x dx

est une fonction holomorplie dans tout le plan. Voici une formule analogue que j'ai obtenue

(a) l(a)COSTT«=: i 1 i — — +..,(?(a).

On reconnaît, d'après le théorème de Mittag-Leffler, que (j(r/) est une fonction holomorphe dans tout le plan.

Mais tandis que dans le cas de la fonction Q(«) de M. Prym ce

caractère résulte aussi directement de l'expression / xa~K e~1' d>\

les choses se passent un peu moins simplement dans le cas actuel. Voici l'expression de (?(«)

(P) (j(«) = r(i — a) valeur PrinciP-J l x ^

(valeur princip. d'après Gauchy = Iim / -h i ].

Cette formule ((3) n'est valable que lorsque partie réelle de a «<-t- 1.

Cependant il n'est pas difficile de reconnaître, d'après la formule (|j) elle-même, que Q(a) est holomorphe dans tout le plan. En effet, à l'aide de l'identité

il \ ienl

246 CORRESPONDANCE IMIERMITE ET DE STIELTJES.

Cette relation permettanl de déduire {{(<') de Çj(a — i) peut servir à continuer la fonction Ç(a) dans toul le plan.

La formule (a) n'est qu'un cas particulier de la suivante où / esl réel el |»i>^iti(

fa / i 1 / ' - I ' *-&

(8) T(a)cos~a = 1 i 1 r --+-...

r " ,r~a e"1— jpJ

valeur princip. / ■ — — «'/.r.

J'indique la démonstration. Soil <p(f) le second membre de (o), alors

d<p(t) , , i d . . . rx x-aeM~x) 7

' , = ta~i c1 — -y- valeur princip. / — dx

dt Tu —a) dl ' l Ju i — x

— fa-lel 1 / x-aem-x) dx = la-lel — ta~iet=o,

en sorte que <p(/) est indépendant de t. Alors, en supposant o < a < i , on obtient, en posant t = o,

o(t) = o(o)= valeur princip. / dx.

Or on a

/*œ x~ a valeur princip. / dx = — -cotTra.

C'est ce qui résulte facilement des formules que vous donnez dans votre Cours; on trouve aussi cette formule dans Briot et Bouquet, Fonctions elliptiques, page ij). 11 en résulte

?(0 = <?(<>) = YU — a) = r(a) cosiea- c.Q.r.r».

Naturellement, il faut justifier la dififérentiation sous le signe /

el aussi montrer qu'on peut faire légitimement t — o. Aussi, on établit, de celte façon, la formule d'abord seulement pour

mais ensuite on voit qu'elle ne peut cesser de rester vraie sans cette condition.

(') Note des éditeurs. — La notation P. II. a signifie partie réelle de a.

LETTRE 129. :'.'l7

Je vous renouvelle, Monsieur, mes vœux pour le rétablissement

de voire sa nié dont j'espère recevoir «le meilleures nouvelles que la dernière fois. C'est là, je \<>us L'avouerai, un peu la raison <le celle lettre et vous pouvez, considérer la fonction I' simplement comme un prétexte de vous écrire une lettre peut-être déjà trop longue.

Veuillez bien nie croire voire 1res dévoué.