II ERMITE A STIELTJES

Paris, 12 octobre 1888.

Mon cher ami,

Je viens vous remercier et vous dire que votre théorème

m'a fait grand plaisir; permettez-moi, en même temps, de vous prier de publier votre lettre dans le Bulletin de M. Darboux afin <[ne d'autres que moi en profitent. Les valeurs principales des intégrales définies dont Cauchy, qui en a donné le premier la notion, a été seul jusqu'ici à employer, méritent, comme vous le faites bien voir, la plus grande attention, el je pense que, à cet égard tout particulièrement, la publication de votre lettre rendrait grand service.

Permettez-moi de rapprocher votre expression

d'un résultat que m'a communiqué M. Lerch. Soit

QO) = / xa~le~x dx •j 1,1

la fonction holomorphe de M. Prym, on a

i r°° e«*xx-a ,

ewQ(a)=— / d.r.

r ( i — a ) J0 i-hx

Ces fonctions Q(a), Q(«) sont d'une nature très mystérieuse,

248 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE S I IF.LTJF.S.

bien qu'holomorphes, et, quelque mal que je me suis donné pour v parvenir, je n'ai pas, à mon gré, réussi à trouver une expression suffisamment explicite pour Q(#). Il y a quelques mois, en ayant sous les veux le simple développement en série

Q(fl)=2c„fl" où c„= ] I

e-x\osncc ,

l'idée m'esl venue de chercher, en appliquant la méthode de Laplace, la ^ • 1 1 • 1 1 1- asymptotique de :?„. Voici ce que j'ai trouvé; écrivant d'abord, au moyen d'une intégration par parties,

e~x ïo"nx dx.

Je désigne par x-=\ la racine de l'équation xlogx = n et j obtiens

M. Bourguel a eu la bonté d'appliquer celle formule en supposant /j = i8, afin de voir l'approximation. On trouve alors

C17 = 0,0000 COOO OOOO 12. . .,

et l'une de ses Tables donne

c17 = 0,0000 0000 0000 is. . . .

ce qui esl un accord plus grand que je ne pouvais l'espérer. Mais mon expression avec la quantité ; ne fait que me confirmer dans mon sentiment de la nature analytique profondément cachée el abstruse de la transcendante. Comme ç est évidemment moindre que //. on reconnaît que la limite pour n infini de

it 1 ,

Vcn-\

est inférieure à l'unité, ce qui est d'un mince intérêt.

J'e pèi ■ que nous ne vous refuserez pas à la publication de ms le Bulletin de M. Darboux, à qui je la donnerai,

à moins d'avis contraire de votre part. Pensez-vous aux coupure des équations modulaires? Permettez-moi d'espérer que vous ne les oubliez pas, e1 veuillez agréer, mon cher ami, La nouvelle assurance de ma bien sincère et cordiale affection.

J'ai écrit avant les vacances à M. Bosscha qui avail eu la bonté de me demander si j'avais reçu le premier volume des Œuvres de Christian Huygens, pour l'informer qu'il ne m'étail pas parvenu. Pourriez-vous, si \<>ns en aviez l'occasion, faire savoir que la maison de librairie qui doit me le remettre ne l'a point encore fait.