STIELTJES A HERMITE

Toulouse, i3 octobre r888.

Cfiek Monsieur,

Je vous remercie bien vivement de voire lettre <[ui me fait savoir que vous vous portez bien, cl quoi que von voudriez dire, je suis certain que vous continuerez encore à exercer une grande influence sur les progrès des Mathématiques. Ce que j'ai surtout appris de vous, c'est cette conviction que la véritable nature des formules que nous employons nous échappe encore bien soin ent et que rien n'est plus digne d'intérêt que de réfléchir sur leur véritable nature. Et que j'ai encore beaucoup à apprendre sous ce rapport; ma formule

T(a) cosua = 1 -4- . . . — U(a)

en fait foi. En effet, je la connaissais depuis 2 ou 3 ans, mais je lécrivais ainsi

/ sca'xex dx = T(a) costi« -+- — v. p. /

x-aet \-x) dx

Je l'avais obtenue en cherchant i\v-< formules qui permettent d'évaluer, avec une grande approximation, par une série semi-

convergente la transcendante

," dx,

dans le cas où t est très grand. C'< ivail que j'ai eu même

l'intention un moment «1 insérer dans ma thèse. Mais c'est seulemenl dernièrement, lorsque ce travail incomplel m'esl passé sous les yeux, que j'ai reconnu la nature véritable du résultai que j'avais obtenu. Il y a, Monsieur, un léger inconvénient à insérer ma lettre dans le Bulletin; c'est qu'il doit y paraître prochainement un autre article de moi, qui est déjà dans les mains do M . Darboux.

Mais j'ai repris mon travail sur / :r" '"' & '■' clx} et je pense en faire

un article pour nos Annales.

Dans l'article du Bulletin ('), dont je viens de parler, je fais voir que l'intégrale générale de l'équation d Euler

il.r

X = a„x'*-+- \a^xz

Y= fl„7v'

4«ij

est

(c = const. arbit ).

\ otre expression approchée du coefficient c„ dans le développement 0(rt) = ÏC/,<7" m'intéresse beaucoup. Vous savez que, du temps où j'étais astronome, j'ai gardé le goût des calculs numériques et des formules qui peuvent servir utilement dans la pratique. Je dois étudier un peu celle expression

Je ne suis point du tout étonné de l'approximation avec laquelle \ous avez représenté ainsi c,-..., au contraire, j'incline à penser qu'on doit avoir ainsi une approximation bien plus notable encore.

J'ai vu que M. Hilberl vous a écrit une lettre (2) où il donne

(') Note des éditeurs. — Sur l'équation d'Euler (Bulletin des Sciences mathématiques, 2' série, t. XII; p. 222-227; 1888).

(- ) .\olc des éditeurs. — Journal de Liouvillc, 4e série, t. IV; iSS*. K\tr.iir d'une lettre de M. D. Hilbert à M. Ilermite.

LETTRE 131. -'i

une idée sommaire de ses belles recherches algébriques dans les Mathematische Annalen. Ces recherches m'intéressenl beaucoup et présentent quelques points de contael avec un travail que j'ai à peine commencé, mais dont le I > 1 1 1 final es! de représenter, sous une forme élégante, les intégrales générales du système d'équations différentielles hyperellip tiques, il est surtout importanl «le voir clairement comment les constantes arbitraires entrenl dans les formules. Le résultai de Jacobi {Œuvres, t. 11, p. i - » — <i suiv.) laisse beaucoup à désirer sous ce point de vue. I>e résultai pour l'équation d'Euler est un premier pas dans celte direction. La formule de M. Lerch

, v i rx e-^*x~adx

vv ' l\i — a)J0 i + x

m'était Lien connue, elle se trouve sous une forme légèrement différente dans le Traité de M. Schlômilch (t. II, 3e édit., p. 367)

/ ■— e~vdv = — =-^ / — e-'dt.

Mais il ne fait point de doute que M. Schlômilch n'avait point envisagé cette formule sous le même point de vue que M. Lerch.

Veuillez bien agréer, cher Monsieur, l'expression des sentiments respectueux de votre très dévoué.